Verifique se os vetores dados são L.I. ou L.D.:
u=(2,-1,2) v=(1,1,1), w=(2,0,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três vetores no espaço tridimensional: u = (2, -1, 2), v = (1, 1, 1) e w = (2, 0, 2). O objetivo é verificar se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para isso, vamos precisar entender o que significa cada um desses termos e usar um método para testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Três vetores são LI se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Se conseguir encontrar uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que some para o vetor zero, então eles são LD.

Passo 3

Uma forma prática de verificar isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD.
Vamos montar a matriz:
A = 2 & 1 & 2 -1 & 1 & 0 2 & 1 & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3 times 3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 2(1 cdot 2 - 0 cdot 1) - 1(-1 cdot 2 - 0 cdot 2) + 2(-1 cdot 1 - 1 cdot 2)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro termo: 2(2 - 0) = 2 times 2 = 4
  2. Segundo termo: -1(-2 - 0) = -1 times (-2) = 2
  3. Terceiro termo: 2(-1 - 2) = 2 times (-3) = -6
Agora, somando tudo:
4 + 2 - 6 = 0

Resposta

Como o determinante é igual a zero, os vetores u, v e w são linearmente dependentes (LD).

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