Considere a equação
que tem uma raiz
(a) Qual ou quais das funções de iteração
dadas acima podem ser usadas para calcular aproximações para a raiz de
?
(i)
;
ii)
;
iii)
.
(a) Qual ou quais das funções de iteração
(i)
ii)
iii)
Passo 1
O enunciado dá a equação
que tem uma raiz
. Pergunta-se quais das três funções de iteração
abaixo podem ser usadas para calcular aproximações dessa raiz por iteração de ponto fixo:
(i) ;
(ii) ;
(iii) .
(i)
(ii)
(iii)
Informações relevantes fornecidas:
- A raiz
satisfaz . - Foi dada uma aproximação
(usar esse valor para avaliar as condições locais). - As três funções
são candidatas para a iteração . - Devemos decidir quais podem ser usadas (i.e., quais têm a raiz como ponto fixo e são localmente contrativas para garantir convergência).
Passo 2
O que é preciso checar para usar
?
- Primeiro requisito: a raiz
de deve ser um ponto fixo de ; isto é, .
Explicação: seentão iterar pode aproximar . - Segundo requisito (condição prática de convergência local): se
for diferenciável numa vizinhança de e existir tal que nessa vizinhança, então é uma contração local e a iteração converge localmente e linearmente para .
Explicação didática: a condiçãodiz que pequenas diferenças entre e encolhem ao aplicar ; se as diferenças tendem a amplificar e a iteração diverge. Essa é a forma mais simples e prática de testar convergência na prova.
Passo 3
Condição de domínio importante:
- Todas as funções envolvem
ou , então o domínio considerado é . A iteração deve permanecer em , pois não é definida para . - Vamos avaliar as derivadas e seus módulos em torno de
(valor dado) para decidir a convergência local.
Passo 4
- Ponto fixo: usando que
satisfaz , obtemos
logo
é ponto fixo de
. (Explicação: esta verificação apenas substitui
na expressão de
.)
- Derivada: calculemos
.
- Avaliação na vizinhança de
:
portanto
.
Conclusão para (i): embora
tenha
como ponto fixo, a derivada em torno da raiz tem módulo maior que
(aqui,
), o que indica que a iteração não é localmente contração e tende a divergir. Observação adicional: para qualquer
temos
, ou seja, na vizinhança da raiz (que está abaixo de
) a condição de contração falha. Portanto (i) não é adequada na prática para convergir à raiz.
Passo 5
- Ponto fixo: da equação original
segue , logo
portanto
é ponto fixo de
.
- Derivada:
- Avaliação em
:
portanto
.
Interpretação: como
,
é localmente contratante e a iteração
converge localmente para
com taxa de convergência linear cujo fator aproximadamente é
. Observação prática: para garantir formalmente a condição de contração em um intervalo ao redor da raiz, basta escolher um intervalo
com
; como
é decrescente em
, o máximo de
no intervalo será em
e será menor que
se
suficientemente grande. No nosso caso, com
, já há contração local suficiente. Conclusão: (ii) pode ser usada para calcular aproximações.
Passo 6
- Ponto fixo: se
então
logo
é ponto fixo de
.
- Derivada:
- Avaliação em
:
portanto
.
Interpretação:
é bem menor que
, o que significa que
é fortemente contratante perto da raiz e a iteração convergerá localmente. De fato, para todo
temos
e portanto
; logo existe contração global em
com constante no máximo
. Isso faz de (iii) uma escolha muito boa: convergência garantida e taxa linear mais rápida (constante de contração menor) do que em (ii).
Passo 7
- (i)
: tem a raiz como ponto fixo, mas na vizinhança da raiz (ex.: em ), portanto a iteração tende a divergir. Não usar. - (ii)
: ponto fixo correto e , converge localmente. Pode ser usada. - (iii)
: ponto fixo correto e ; é contração forte em e converge rapidamente. Recomendada entre as três.
Motivação prática para a prova: verificar sempre (a) se
(ponto fixo) e (b) se
. Se (b) falhar (como em (i)), a iteração provavelmente diverge; se (b) for satisfeita e pequeno (como em (iii)), a convergência será mais rápida.
Resposta
ii)
\n
iii)
iii)