Considere a equação x+\ln (x)=0 que tem uma raiz \bar{x} \approx 0.5
(a) Qual ou quais das funções de iteração g dadas acima podem ser usadas para calcular aproximações para a raiz de f ?
(i) g(x)=-\ln (x);
ii) g(x)=e^{-x};
iii) g(x)=\left(x+e^{-x}\right) / 2.

Passo 1

O enunciado dá a equação \;x+\ln(x)=0\; que tem uma raiz \bar{x}\approx 0,5. Pergunta-se quais das três funções de iteração g abaixo podem ser usadas para calcular aproximações dessa raiz por iteração de ponto fixo:
(i) \;g(x)=-\ln(x)\;;
(ii) \;g(x)=e^{-x}\;;
(iii) \;g(x)=\dfrac{x+e^{-x}}{2}\;.
Informações relevantes fornecidas:
  • A raiz \bar{x} satisfaz \bar{x}+\ln(\bar{x})=0.
  • Foi dada uma aproximação \bar{x}\approx 0,5 (usar esse valor para avaliar as condições locais).
  • As três funções g são candidatas para a iteração x_{n+1}=g(x_n).
  • Devemos decidir quais podem ser usadas (i.e., quais têm a raiz como ponto fixo e são localmente contrativas para garantir convergência).

Passo 2

O que é preciso checar para usar x_{n+1}=g(x_n)?
  • Primeiro requisito: a raiz \bar{x} de f(x)=x+\ln(x) deve ser um ponto fixo de g; isto é, g(\bar{x})=\bar{x}.
    Explicação: se g(\bar{x})=\bar{x} então iterar g pode aproximar \bar{x}.
  • Segundo requisito (condição prática de convergência local): se g for diferenciável numa vizinhança de \bar{x} e existir k\in[0,1) tal que |g'(x)|\le k<1 nessa vizinhança, então g é uma contração local e a iteração converge localmente e linearmente para \bar{x}.
    Explicação didática: a condição |g'(\bar{x})|<1 diz que pequenas diferenças entre x_n e \bar{x} encolhem ao aplicar g; se |g'(\bar{x})|>1 as diferenças tendem a amplificar e a iteração diverge. Essa é a forma mais simples e prática de testar convergência na prova.

Passo 3

Condição de domínio importante:
  • Todas as funções envolvem \ln(x) ou e^{-x}, então o domínio considerado é x>0. A iteração deve permanecer em x>0, pois \ln(x) não é definida para x\le0.
  • Vamos avaliar as derivadas e seus módulos em torno de \bar{x}\approx 0,5 (valor dado) para decidir a convergência local.

Passo 4

  1. Ponto fixo: usando que \bar{x} satisfaz \ln(\bar{x})=-\bar{x}, obtemos
g(\bar{x})=-\ln(\bar{x})=\bar{x},
logo \bar{x} é ponto fixo de g. (Explicação: esta verificação apenas substitui \bar{x} na expressão de g.)
  1. Derivada: calculemos g'(x).
g'(x) = -\frac{1}{x}.
  1. Avaliação na vizinhança de \bar{x}\approx 0,5:
g'(\,0,5\,) = -\frac{1}{0,5} = -2,
portanto |g'(\,0,5\,)| = 2 > 1.
Conclusão para (i): embora g tenha \bar{x} como ponto fixo, a derivada em torno da raiz tem módulo maior que 1 (aqui, 2), o que indica que a iteração não é localmente contração e tende a divergir. Observação adicional: para qualquer x\in(0,1) temos |g'(x)|=1/x>1, ou seja, na vizinhança da raiz (que está abaixo de 1) a condição de contração falha. Portanto (i) não é adequada na prática para convergir à raiz.

Passo 5

  1. Ponto fixo: da equação original \ln(\bar{x})=-\bar{x} segue \bar{x}=e^{-\bar{x}}, logo
g(\bar{x})=e^{-\bar{x}}=\bar{x},
portanto \bar{x} é ponto fixo de g.
  1. Derivada:
g'(x) = -e^{-x}.
  1. Avaliação em \bar{x}\approx 0,5:
g'(\,0,5\,) = -e^{-0,5}\approx -0,6065,
portanto |g'(\,0,5\,)| \approx 0,6065 < 1.
Interpretação: como |g'(\bar{x})|<1, g é localmente contratante e a iteração x_{n+1}=e^{-x_n} converge localmente para \bar{x} com taxa de convergência linear cujo fator aproximadamente é 0,6065. Observação prática: para garantir formalmente a condição de contração em um intervalo ao redor da raiz, basta escolher um intervalo [a,b] com a>0; como e^{-x} é decrescente em x, o máximo de |g'| no intervalo será em x=a e será menor que 1 se a>0 suficientemente grande. No nosso caso, com \bar{x}\approx 0,5, já há contração local suficiente. Conclusão: (ii) pode ser usada para calcular aproximações.

Passo 6

  1. Ponto fixo: se \bar{x}=e^{-\bar{x}} então
g(\bar{x})=\frac{\bar{x}+e^{-\bar{x}}}{2}=\frac{\bar{x}+\bar{x}}{2}=\bar{x},
logo \bar{x} é ponto fixo de g.
  1. Derivada:
g'(x) = \frac{1 + (-e^{-x})}{2} = \frac{1 - e^{-x}}{2}.
  1. Avaliação em \bar{x}\approx 0,5:
e^{-0,5}\approx 0,6065 \quad\Rightarrow\quad g'(\,0,5\,)=\frac{1-0,6065}{2}\approx\frac{0,3935}{2}\approx 0,1968,
portanto |g'(\,0,5\,)|\approx 0,1968 < 1.
Interpretação: |g'(\bar{x})| é bem menor que 1, o que significa que g é fortemente contratante perto da raiz e a iteração convergerá localmente. De fato, para todo x>0 temos 0<e^{-x}\le 1 e portanto 0\le g'(x)=(1-e^{-x})/2<1/2; logo existe contração global em (0,\infty) com constante no máximo 1/2. Isso faz de (iii) uma escolha muito boa: convergência garantida e taxa linear mais rápida (constante de contração menor) do que em (ii).

Passo 7

  • (i) \;g(x)=-\ln(x): tem a raiz como ponto fixo, mas |g'(\bar{x})|>1 na vizinhança da raiz (ex.: 2 em x\approx0,5), portanto a iteração tende a divergir. Não usar.
  • (ii) \;g(x)=e^{-x}: ponto fixo correto e |g'(\bar{x})|\approx 0,6065<1, converge localmente. Pode ser usada.
  • (iii) \;g(x)=\dfrac{x+e^{-x}}{2}: ponto fixo correto e |g'(\bar{x})|\approx 0,1968\ll1; é contração forte em (0,\infty) e converge rapidamente. Recomendada entre as três.
Motivação prática para a prova: verificar sempre (a) se g(\bar{x})=\bar{x} (ponto fixo) e (b) se |g'(\bar{x})|<1. Se (b) falhar (como em (i)), a iteração provavelmente diverge; se (b) for satisfeita e pequeno (como em (iii)), a convergência será mais rápida.

Resposta

ii) \;g(x)=e^{-x}\n
iii) \;g(x)=\dfrac{x+e^{-x}}{2}

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