Coloque a equação
sob a forma
de modo que a sequência
convirja para a raiz, partindo de um
arbitrariamente escolhido.
Passo 1
Enunciado e o que se pede. Temos a equação
O pedido é: escrever essa equação na forma
de modo que a iteração definida por
converja para a raiz da equação, partindo de um
arbitrariamente escolhido.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A raiz procurada é um número
(pois aparece ). - Queremos uma função
tal que os pontos fixos de sejam exatamente as raízes da equação e tal que a sequência de iteração convirja para esse ponto fixo a partir de qualquer .
Passo 2
Transformação da equação para a forma
. A equação
, pode ser reescrita isolando
:
Aplicando exponencial em ambos os lados (função bijetora em
) obtemos
Logo uma escolha natural é
Observe que se
é um ponto fixo de
(isto é,
) então
e tomando logaritmo recuperamos
, isto é,
. Assim os pontos fixos de
são exatamente as raízes da equação original.
Passo 3
Cálculo da derivada de
e estimativa do seu módulo. Vamos calcular
. Como
, pela regra da cadeia:
Tomando o valor absoluto:
Para qualquer
temos
quando
, mas mesmo se
a expressão
cresce; no entanto, para todos os
reais a quantidade
é positiva e, crucialmente, atinge seu máximo igual a
quando
. Portanto, para todo
,
Passo 4
Por que esse controle em
garante convergência (intuição e teorema). Vou te ensinar rapidinho o resultado que usamos: se uma função
é derivável em um intervalo e existe uma constante
tal que
para todo
do intervalo, então
é uma aplicação contrátil (Lipschitz com constante
). Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach (também chamado de Teorema das Contracções), uma aplicação contrátil em um espaço métrico completo tem um único ponto fixo, e a iteração
converge para esse ponto fixo a partir de qualquer
do intervalo.
Aqui, pelo resultado do passo anterior, podemos tomar e, usando o Teorema do Valor Médio, para quaisquer
existe
entre
e
com
Aqui, pelo resultado do passo anterior, podemos tomar
Portanto
é uma contração global com constante
.
Passo 5
Domínio, imagem e validade da iteração a partir de qualquer
. Note que
está bem definida para todo
e produz valores positivos:
para todo
. Assim, mesmo que você escolha um
arbitrário (qualquer real), a primeira iteração
já será positiva, e todas as iteradas subsequentes permanecem em
, domínio onde a raiz da equação original vive. Como
é contratante em todo
, o Teorema do Ponto Fixo garante convergência para o único ponto fixo de
.
Passo 6
Conclusão sobre convergência e unicidade da raiz. Pelas propriedades acima: (i) os pontos fixos de
são exatamente as soluções de
; (ii)
é uma contração global com constante
; (iii) portanto existe um único ponto fixo
e, para qualquer
, a sequência definida por
converge linearmente para
com razão de convergência no máximo
. Em palavras: escolhemos
de modo que a iteração convirja para a raiz a partir de qualquer
.