Coloque a equação x+2 \ln (x)=0 sob a forma x=g(x) de modo que a sequência x_{n}:=g\left(x_{n}-1\right) convirja para a raiz, partindo de um x_{0} arbitrariamente escolhido.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos a equação
x + 2\ln(x) = 0.
O pedido é: escrever essa equação na forma x = g(x) de modo que a iteração definida por x_{n} := g(x_{n-1}) converja para a raiz da equação, partindo de um x_{0} arbitrariamente escolhido.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A raiz procurada é um número x>0 (pois aparece \ln(x)).
  • Queremos uma função g tal que os pontos fixos de g sejam exatamente as raízes da equação e tal que a sequência de iteração convirja para esse ponto fixo a partir de qualquer x_{0}.

Passo 2

Transformação da equação para a forma x=g(x). A equação \,x+2\ln(x)=0, pode ser reescrita isolando \ln(x):
\ln(x) = -\frac{x}{2}.
Aplicando exponencial em ambos os lados (função bijetora em \mathbb{R}) obtemos
x = e^{-x/2}.
Logo uma escolha natural é
g(x) = e^{-x/2}.
Observe que se x é um ponto fixo de g (isto é, x=g(x)) então x=e^{-x/2} e tomando logaritmo recuperamos \ln(x)=-x/2, isto é, x+2\ln(x)=0. Assim os pontos fixos de g são exatamente as raízes da equação original.

Passo 3

Cálculo da derivada de g e estimativa do seu módulo. Vamos calcular g'(x). Como g(x)=e^{-x/2}, pela regra da cadeia:
g'(x) = -\frac{1}{2} e^{-x/2}.
Tomando o valor absoluto:
|g'(x)| = \frac{1}{2} e^{-x/2}.
Para qualquer x\in\mathbb{R} temos e^{-x/2}\le e^{0}=1 quando x\ge 0, mas mesmo se x<0 a expressão e^{-x/2} cresce; no entanto, para todos os x reais a quantidade e^{-x/2} é positiva e, crucialmente, atinge seu máximo igual a 1 quando x=0. Portanto, para todo x\in\mathbb{R},
|g'(x)| \le \frac{1}{2}.

Passo 4

Por que esse controle em g'(x) garante convergência (intuição e teorema). Vou te ensinar rapidinho o resultado que usamos: se uma função g é derivável em um intervalo e existe uma constante L<1 tal que |g'(x)|\le L para todo x do intervalo, então g é uma aplicação contrátil (Lipschitz com constante L). Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach (também chamado de Teorema das Contracções), uma aplicação contrátil em um espaço métrico completo tem um único ponto fixo, e a iteração x_{n}=g(x_{n-1}) converge para esse ponto fixo a partir de qualquer x_{0} do intervalo.
Aqui, pelo resultado do passo anterior, podemos tomar L=\tfrac{1}{2}<1 e, usando o Teorema do Valor Médio, para quaisquer x,y\in\mathbb{R} existe \xi entre x e y com
|g(x)-g(y)| = |g'(\xi)|\,|x-y|\le \frac{1}{2}|x-y|.
Portanto g é uma contração global com constante L=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Domínio, imagem e validade da iteração a partir de qualquer x_{0}. Note que g(x)=e^{-x/2} está bem definida para todo x\in\mathbb{R} e produz valores positivos: g(x)>0 para todo x. Assim, mesmo que você escolha um x_{0} arbitrário (qualquer real), a primeira iteração x_{1}=g(x_{0}) já será positiva, e todas as iteradas subsequentes permanecem em (0,\infty), domínio onde a raiz da equação original vive. Como g é contratante em todo \mathbb{R}, o Teorema do Ponto Fixo garante convergência para o único ponto fixo de g.

Passo 6

Conclusão sobre convergência e unicidade da raiz. Pelas propriedades acima: (i) os pontos fixos de g são exatamente as soluções de x+2\ln(x)=0; (ii) g é uma contração global com constante L=\tfrac{1}{2}; (iii) portanto existe um único ponto fixo r>0 e, para qualquer x_{0}\in\mathbb{R}, a sequência definida por x_{n}=g(x_{n-1}) converge linearmente para r com razão de convergência no máximo \tfrac{1}{2}. Em palavras: escolhemos g de modo que a iteração convirja para a raiz a partir de qualquer x_{0}.

Resposta

g(x)=e^{-x/2}

Exercícios relacionados