Considere a função
que tem um zero no intervalo
.
onde:
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(i) Para determinar o zero de
usando o Método do Ponto Fixo qual ou quais funções
você usaria?
(ii) Calcule o zero com erro inferior a
.
(a)
(b)
(c)
(i) Para determinar o zero de
(ii) Calcule o zero com erro inferior a
Passo 1
O enunciado dá a função
e informa que existe uma raiz de
no intervalo
. São propostas três rearrumações
:
(a) ;
(b) ;
(c) .
O exercício faz duas perguntas:
(i) Qual ou quais das funções eu usaria para aplicar o Método do Ponto Fixo para determinar a raiz?
(ii) Calcular a raiz com erro inferior a .
(a)
(b)
(c)
O exercício faz duas perguntas:
(i) Qual ou quais das funções
(ii) Calcular a raiz com erro inferior a
Informações relevantes fornecidas:
- A raiz está em
. - As três expressões (a), (b) e (c) são rearranjos válidos de
(cada uma é tal que ↔ ). - Precisa-se checar convergência do método do ponto fixo e obter uma aproximação com erro <
.
Passo 2
O que é o Método do Ponto Fixo e qual é o critério de convergência que usaremos (explicação didática):
- Método: Dado
, construímos a sequência
começando de um palpite inicial
. Se a sequência converge, seu limite
satisfaz
, ou seja, é a raiz procurada.
- Critério prático de convergência (Teorema do Ponto Fixo de Banach, explicado): Se existe um intervalo
tal que -
é contínua em , -
(isto é, leva pontos de para dentro de ), - existe
com para todo ,
entãotem um único ponto fixo em e a iteração converge para esse ponto fixo para qualquer .
-
O que significam as variáveis na fórmula de iteração:
-
é a aproximação da raiz na iteração . -
é a derivada de ; seu valor absoluto indica quanto “estica” distâncias localmente. Se é pequeno (menor que 1), contrai distâncias e a iteração converge.
Como usaremos isso na prova:
- Calculo
para cada proposta e avalio num intervalo que contenha a raiz (por exemplo, um intervalo pequeno dentro de ). Se for maior que 1 ali, a iteração tende a divergir; se for menor que 1 e , então converge.
Passo 3
Aplicando o critério a cada
(cálculos das derivadas e interpretação passo a passo):
(a)
.
- Derivada:
- Em qualquer
temos . Por exemplo, perto da raiz (que está entre 1 e 2) já temos . Portanto no entorno da raiz: isto indica que é expansora ali e a iteração tende a divergir. Conclusão: (a) não é adequada.
(b)
.
- Derivada:
- Note que
e que é decrescente quando aumenta; portanto o máximo de num intervalo contendo a raiz ocorre no menor ponto desse intervalo. - Escolhemos um intervalo pequeno contendo a raiz estimada, por exemplo
(a raiz está entre e ; isto é consistente com e — portanto há raiz entre). - Avaliando o máximo de
em no extremo esquerdo :
calcular. A raiz cúbica de é aproximadamente (pode-se obter por um passo de Newton); então . Assim Logo . Também verificamos a propriedade de imagem: e . Portanto . - Conclusão:
da alínea (b) satisfaz as hipóteses do Teorema do Ponto Fixo em e é adequado: a iteração converge.
(c)
.
- Derivada:
- Observações importantes: há singularidades em
(denominador zero), e para perto da raiz (~1{,}9) o valor absoluto de costuma ser grande. Por exemplo, em , - Como
é maior que 1 perto da raiz, e ainda existe problema de indefinição em , a função (c) não é adequada para ponto fixo (a iteração tende a divergir ou ficar instável). - Conclusão: (c) não é adequada.
Síntese do passo: entre (a), (b), (c) apenas (b) é uma boa escolha para aplicar o Método do Ponto Fixo, pois tem
em um intervalo contendo a raiz e mapeia esse intervalo nele mesmo.
Passo 4
Implementação prática da iteração com
e garantia de erro <
:
-
Escolha do palpite inicial: tomo
(está dentro de e perto da raiz, bom para convergência rápida). -
Fórmula de iteração:
- Cálculo da primeira iteração (faça as contas como se estivesse na prova; mostro um passo de Newton para calcular raiz cúbica de forma manual e rápida):
- Queremos
. - Método de Newton para
: iteração . Tomamos como chute inicial: -
. -
. -
. - Dividindo por
: .
-
- Logo
- Diferença entre iterações:
.
- Estimativa do erro real usando o fato que
em com :
- Existe uma desigualdade a posteriori (consequência do Teorema de Banach) que dá
onde é o ponto fixo (a raiz) e . - Para garantir
é suficiente ter - Com
e temos - Como
, já podemos afirmar que a aproximação satisfaz Ou seja, após a primeira iteração partindo de já garantimos erro menor que .
- (Opcional, só para ver a convergência numérica) Segunda iteração:
-
. - Aplicando um passo de Newton rápido, obtemos
. - Diferença
(muito pequena), mostrando convergência rápida e que a raiz está perto de .
Conclusão numérica prática: uma aproximação da raiz com erro absoluto inferior a
é
. Podemos arredondar para duas casas decimais se desejado:
(mas melhor reportar com 4–5 dígitos significativos:
).
Resposta
(i)
(apenas a alternativa (b) é adequada para o Método do Ponto Fixo).\n
(ii) Uma aproximação da raiz com erro é
.
(ii) Uma aproximação da raiz com erro