Considere a função f(x)=x^{3}-x-5 que tem um zero no intervalo (0,3). f(x)= 0 \Longleftrightarrow x=g(x) onde:
(a) g(x)=x^{3}-5;
(b) g(x)=\sqrt[3]{(x+5)};
(c) g(x)=\frac{5}{\left(x^{2}-1\right)};
(i) Para determinar o zero de f usando o Método do Ponto Fixo qual ou quais funções g você usaria?
(ii) Calcule o zero com erro inferior a 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-x-5 e informa que existe uma raiz de f no intervalo (0,3). São propostas três rearrumações f(x)=0\Longleftrightarrow x=g(x):
(a) g(x)=x^{3}-5;
(b) g(x)=\sqrt[3]{(x+5)};
(c) g(x)=\dfrac{5}{\left(x^{2}-1\right)}.
O exercício faz duas perguntas:
(i) Qual ou quais das funções g eu usaria para aplicar o Método do Ponto Fixo para determinar a raiz?
(ii) Calcular a raiz com erro inferior a 10^{-2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A raiz está em (0,3).
  • As três expressões (a), (b) e (c) são rearranjos válidos de f(x)=0 (cada uma é tal que x=g(x) x^{3}-x-5=0).
  • Precisa-se checar convergência do método do ponto fixo e obter uma aproximação com erro < 10^{-2}.

Passo 2

O que é o Método do Ponto Fixo e qual é o critério de convergência que usaremos (explicação didática):
  • Método: Dado g, construímos a sequência
x_{n+1}=g(x_n),
começando de um palpite inicial x_0. Se a sequência converge, seu limite x satisfaz x=g(x), ou seja, é a raiz procurada.
  • Critério prático de convergência (Teorema do Ponto Fixo de Banach, explicado): Se existe um intervalo I=[a,b] tal que
    1. g é contínua em I,
    2. g(I)\subset I (isto é, g leva pontos de I para dentro de I),
    3. existe k\in[0,1) com |g'(x)|\le k para todo x\in I,
      então g tem um único ponto fixo em I e a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge para esse ponto fixo para qualquer x_0\in I.
O que significam as variáveis na fórmula de iteração:
  • x_n é a aproximação da raiz na iteração n.
  • g'(x) é a derivada de g; seu valor absoluto indica quanto g “estica” distâncias localmente. Se |g'| é pequeno (menor que 1), g contrai distâncias e a iteração converge.
Como usaremos isso na prova:
  • Calculo g'(x) para cada proposta e avalio |g'(x)| num intervalo que contenha a raiz (por exemplo, um intervalo pequeno dentro de (0,3)). Se |g'| for maior que 1 ali, a iteração tende a divergir; se for menor que 1 e g(I)\subset I, então converge.

Passo 3

Aplicando o critério a cada g (cálculos das derivadas e interpretação passo a passo):
(a) g(x)=x^{3}-5.
  • Derivada: g'(x)=3x^{2}.
  • Em qualquer x\in(0,3) temos 3x^{2}>0. Por exemplo, perto da raiz (que está entre 1 e 2) já temos 3x^{2}\ge 3(1)^{2}=3>1. Portanto |g'(x)|>1 no entorno da raiz: isto indica que g é expansora ali e a iteração tende a divergir. Conclusão: (a) não é adequada.
(b) g(x)=\sqrt[3]{x+5}=(x+5)^{1/3}.
  • Derivada: g'(x)=\frac{1}{3}(x+5)^{-2/3}.
  • Note que g'(x)>0 e que (x+5)^{-2/3} é decrescente quando x aumenta; portanto o máximo de |g'| num intervalo contendo a raiz ocorre no menor ponto desse intervalo.
  • Escolhemos um intervalo pequeno contendo a raiz estimada, por exemplo I=[1{,}7,\,2{,}0] (a raiz está entre 1{,}7 e 2{,}0; isto é consistente com f(1{,}7)=1{,}7^{3}-1{,}7-5<0 e f(2)=1>0 — portanto há raiz entre).
  • Avaliando o máximo de |g'| em I no extremo esquerdo x=1{,}7:
    calcular (1{,}7+5)=6{,}7. A raiz cúbica de 6{,}7 é aproximadamente 1{,}8853 (pode-se obter por um passo de Newton); então (6{,}7)^{2/3}\approx(1{,}8853)^{2}\approx3{,}554. Assim k=\max_{x\in I}|g'(x)|\approx\frac{1}{3\cdot 3{,}554}\approx 0{,}094.Logo k<1. Também verificamos a propriedade de imagem: g(1{,}7)=\sqrt[3]{6{,}7}\approx1{,}885\in I e g(2{,}0)=\sqrt[3]{7}\approx1{,}9129\in I. Portanto g(I)\subset I.
  • Conclusão: g da alínea (b) satisfaz as hipóteses do Teorema do Ponto Fixo em I e é adequado: a iteração converge.
(c) g(x)=\dfrac{5}{x^{2}-1}.
  • Derivada: g'(x)=-\frac{10x}{(x^{2}-1)^{2}}.
  • Observações importantes: há singularidades em x=\pm 1 (denominador zero), e para x perto da raiz (~1{,}9) o valor absoluto de g' costuma ser grande. Por exemplo, em x=1{,}9, |g'(1{,}9)|\approx\frac{19}{(1{,}9^{2}-1)^{2}}=\frac{19}{(3{,}61-1)^{2}}=\frac{19}{(2{,}61)^{2}}\approx\frac{19}{6{,}8121}\approx2{,}79>1.
  • Como |g'| é maior que 1 perto da raiz, e ainda existe problema de indefinição em x=1, a função (c) não é adequada para ponto fixo (a iteração tende a divergir ou ficar instável).
  • Conclusão: (c) não é adequada.
Síntese do passo: entre (a), (b), (c) apenas (b) é uma boa escolha para aplicar o Método do Ponto Fixo, pois tem |g'|<1 em um intervalo contendo a raiz e mapeia esse intervalo nele mesmo.

Passo 4

Implementação prática da iteração com g(x)=\sqrt[3]{x+5} e garantia de erro < 10^{-2}:
  1. Escolha do palpite inicial: tomo x_0=1{,}9 (está dentro de I e perto da raiz, bom para convergência rápida).
  2. Fórmula de iteração:
x_{n+1}=g(x_n)=\sqrt[3]{x_n+5}.
  1. Cálculo da primeira iteração (faça as contas como se estivesse na prova; mostro um passo de Newton para calcular raiz cúbica de forma manual e rápida):
  • Queremos x_1=\sqrt[3]{1{,}9+5}=\sqrt[3]{6{,}9}.
  • Método de Newton para c=\sqrt[3]{s}: iteração c_{\text{new}}=\dfrac{2c+s/c^{2}}{3}. Tomamos c=1{,}9 como chute inicial:
    • c^{2}=1{,}9^{2}=3{,}61.
    • s/c^{2}=6{,}9/3{,}61\approx1{,}9119.
    • 2c+s/c^{2}=3{,}8+1{,}9119=5{,}7119.
    • Dividindo por 3: c_{\text{new}}\approx1{,}9039667.
  • Logo x_{1}\approx1{,}903967.
  • Diferença entre iterações: |x_{1}-x_{0}|=1{,}903967-1{,}9=0{,}003967.
  1. Estimativa do erro real usando o fato que |g'(x)|\le k em I com k\approx0{,}094:
  • Existe uma desigualdade a posteriori (consequência do Teorema de Banach) que dá |x - x_n| \le \frac{k}{1-k}\,|x_n - x_{n-1}|,onde x é o ponto fixo (a raiz) e k=\max_{I}|g'|.
  • Para garantir |x-x_n|<\varepsilon é suficiente ter |x_n - x_{n-1}| < \frac{1-k}{k}\,\varepsilon.
  • Com k\approx0{,}094 e \varepsilon=10^{-2} temos \frac{1-k}{k}\,\varepsilon \approx \frac{0{,}906}{0{,}094}\cdot 0{,}01\approx 0{,}096.
  • Como |x_{1}-x_{0}|\approx 0{,}003967<0{,}096, já podemos afirmar que a aproximação x_{1} satisfaz |x-x_{1}|<10^{-2}.Ou seja, após a primeira iteração partindo de x_0=1{,}9 já garantimos erro menor que 10^{-2}.
  1. (Opcional, só para ver a convergência numérica) Segunda iteração:
  • x_{2}=\sqrt[3]{x_{1}+5}=\sqrt[3]{1{,}903967+5}=\sqrt[3]{6{,}903967}.
  • Aplicando um passo de Newton rápido, obtemos x_{2}\approx1{,}9040303.
  • Diferença |x_{2}-x_{1}|\approx0{,}0000633 (muito pequena), mostrando convergência rápida e que a raiz está perto de 1{,}904.
Conclusão numérica prática: uma aproximação da raiz com erro absoluto inferior a 10^{-2} é x\approx1{,}90397. Podemos arredondar para duas casas decimais se desejado: x\approx1{,}90 (mas melhor reportar com 4–5 dígitos significativos: 1{,}904).

Resposta

(i) g(x)=\sqrt[3]{x+5} (apenas a alternativa (b) é adequada para o Método do Ponto Fixo).\n
(ii) Uma aproximação da raiz com erro <10^{-2} é x\approx1{,}90397.

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