Verifique que a função dada é uma solução. ( a, b, c são constantes arbitrárias).
y^prime prime+pi^2 y=0, y=a cos (pi x)+b sen(pi x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
y=acos(pi x)+bsin(pi x)
é solução da equação diferencial
y''+pi^2y=0.
O conteúdo aqui é derivação de funções trigonométricas e substituição em EDO de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas usando regra da cadeia. Primeiro a derivada primeira:
y' = ddxl(acos(pi x)+bsin(pi x)r) = -apisin(pi x) + bpicos(pi x)
Agora a derivada segunda:
y''= ddxl(-apisin(pi x)+bpicos(pi x)r) = -api^2cos(pi x) - bpi^2sin(pi x)

Passo 3

Substituindo na EDO y''+pi^2y:
y''+pi^2y = l(-api^2cos(pi x)-bpi^2sin(pi x)r) +pi^2l(acos(pi x)+bsin(pi x)r)=0
Como o resultado é zero para quaisquer constantes a,b, concluímos que a função dada satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Sim. A função satisfaz y''+pi^2y=0, logo é solução da equação diferencial.

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