Use o Lema Fundamental e mostre que a função z=f(x, y) é diferenciável no domínio indicado.
Estude a diferenciabilidade da função z=f(x, y), no ponto P0 indicado:
z=raiz|y| cos x ; P0=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Lema Fundamental (isto é, o teorema que afirma que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto) à função
f(x,y)=raizlvert yrvert,cos x
no domínio onde faz sentido (isto é, em cada região y>0 e y<0), e depois estudar o ponto P0=(0,0).

Passo 2

Para y>0 temos raizlvert yrvert=raizy. Logo
f(x,y)=raizy,cos x,
e as derivadas parciais são
fx(x,y) = -raizy,sin x e fy(x,y) = cos x;12raizy
Ambas existem e são funções contínuas em qualquer vizinhança onde y>0. Pelo mesmo raciocínio, em y<0 escrevemos raizlvert yrvert=raiz-y, calculamos
fx(x,y) = -raiz-y,sin x e fy(x,y) = cos x;l(-tfrac12raiz-yr),
que também existem e são contínuas para y<0. Pelo Lema Fundamental, f é diferenciável em todo ponto com yneq 0.

Passo 3

No ponto P0=(0,0) avaliamos as derivadas parciais pela definição:
- Para fx(0,0):
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0raiz|0|cos h -0h =0
- Para fy(0,0):
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0raiz|k|cos0 -0k =limkto0raiz|k|k
e esse limite não existe (fica tfrac1raizk para k>0 e -tfrac1raiz-k para k<0, explodindo). Como não há derivada parcial em y finita em P0, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f(x,y)=raizlvert yrvertcos x é diferenciável em todo ponto com yneq 0 (pelas derivadas parciais contínuas) e não é diferenciável em P0=(0,0).

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