Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
Estude a diferenciabilidade da função
, no ponto
indicado:
Estude a diferenciabilidade da função
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o Lema Fundamental (isto é, o teorema que afirma que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto) à função
no domínio onde faz sentido (isto é, em cada região
e
), e depois estudar o ponto
.
Passo 2
Para
temos
. Logo
e as derivadas parciais são
Ambas existem e são funções contínuas em qualquer vizinhança onde
. Pelo mesmo raciocínio, em
escrevemos
, calculamos
que também existem e são contínuas para
. Pelo Lema Fundamental,
é diferenciável em todo ponto com
.
Passo 3
No ponto
avaliamos as derivadas parciais pela definição:
- Para :
- Para
- Para
:
e esse limite não existe (fica
para
e
para
, explodindo). Como não há derivada parcial em
finita em
,
não é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo ponto com
(pelas derivadas parciais contínuas) e não é diferenciável em
.