Considere a equação y^prime prime+2 b y '+y=0, onde b é uma constante real. Quais são as possíveis soluções gerais dessa equação em função do valor de b?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2b,y' + y = 0,
onde b é uma constante real. Para isso vamos usar a técnica da equação característica e distinguir os casos conforme o discriminante.

Passo 2

Formamos a equação característica associada, trocando ymapsto e^r x:
r^2 + 2b,r + 1 = 0
O discriminante dessa equação é
De<a = (2b)^2 - 4cdot1cdot1 = 4,(b^2 - 1)
As raízes são
r = -2b pm raizDe<a2 = -b pm raizb^2 - 1

Passo 3

Caso b^2 > 1, temos De<a>0 e portanto raízes reais distintas
r1 = -b + raizb^2 - 1, r2 = -b - raizb^2 - 1
A solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes.

Passo 4

Caso b^2 = 1, temos De<a=0 e as raízes se fundem em uma raiz dupla
r = -b
Nesse caso a teoria de EDOs diz que a solução geral é da forma
(C1 + C2,x)e^r x.

Passo 5

Caso b^2 < 1, temos De<a<0 e as raízes são complexas conjugadas
r = -b pm i,raiz1 - b^2
Chamando omega = raiz1 - b^2, a solução geral se escreve em termos de cosseno e seno multiplicados pelo decaimento exponencial e^-b x.

Resposta

Para a EDO y'' + 2b,y' + y = 0 a solução geral é:
Para b^2 > 1:
y(x) = C1e^l(-b + raizb^2-1r)x + C2e^l(-b - raizb^2-1r)x
Para b^2 = 1:
y(x) = l(C1 + C2,xr),e^-b,x
Para b^2 < 1:
y(x) = e^-b xl(C1cosl(raiz1 - b^2;xr) + C2sinl(raiz1 - b^2;xr)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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