Considere a equação
, onde
é uma constante real. Quais são as possíveis soluções gerais dessa equação em função do valor de b?
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
é uma constante real. Para isso vamos usar a técnica da equação característica e distinguir os casos conforme o discriminante.
Passo 2
Formamos a equação característica associada, trocando
:
O discriminante dessa equação é
As raízes são
Passo 3
Caso
, temos
e portanto raízes reais distintas
A solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes.
Passo 4
Caso
, temos
e as raízes se fundem em uma raiz dupla
Nesse caso a teoria de EDOs diz que a solução geral é da forma
.
Passo 5
Caso
, temos
e as raízes são complexas conjugadas
Chamando
, a solução geral se escreve em termos de cosseno e seno multiplicados pelo decaimento exponencial
.
Resposta
Para a EDO
a solução geral é:
Para
:
Para
:
Para
:
onde
e
são constantes arbitrárias.