Resolva a equação diferencial (7 x^4 y-3 y^8) d x+(2 x^5-9 x y^7) d y=0, dado que existe um fator de integração da forma x^m y^n.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(7x^4y - 3y^8r),dx + l(2x^5 - 9x y^7r),dy = 0
sabendo que existe um fator integrante da forma mu(x,y)=x^my^n. O conteúdo é exatidão de equações diferenciais e fator integrante, e vamos precisar determinar m e n de modo que, multiplicando por mu, a equação se torne exata.

Passo 2

Multiplicamos M=7x^4y - 3y^8 e N=2x^5 - 9x y^7 por mu=x^my^n, obtendo
tilde M = x^my^n(7x^4y - 3y^8) =7,x^m+4y^n+1-3,x^my^n+8,
tilde N = x^my^n(2x^5 - 9x y^7) =2,x^m+5y^n-9,x^m+1y^n+7
A condição de exatidão é
partial tilde Mpartial y =partial tilde Npartial x

Passo 3

Calculamos as derivadas:
partial tilde Mpartial y =7(n+1),x^m+4y^n -3(n+8),x^my^n+7,
partial tilde Npartial x =2(m+5),x^m+4y^n -9(m+1),x^my^n+7
Igualando coeficientes de x^m+4y^n e de x^my^n+7, obtemos o sistema
7(n+1)=2(m+5), 3(n+8)=9(m+1)
Da segunda equação segue n+8=3(m+1), ou seja n=3m-5. Substituindo na primeira:
7(3m-5+1)=2(m+5) ;implies; 21m-28=2m+10 ;implies; m=2,
n=3cdot2-5=1
Logo mu(x,y)=x^2y^1=x^2y.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu=x^2y, ficando
l(7x^6y^2-3x^2y^9r),dx +l(2x^7y-9x^3y^8r),dy=0
Chamando tilde M=7x^6y^2-3x^2y^9 e tilde N=2x^7y-9x^3y^8, procuramos Phi(x,y) tal que
Phix=tilde M, Phiy=tilde N
Integramos tilde M em relação a x:
Phi(x,y) =integrall(7x^6y^2-3x^2y^9r),dx =x^7y^2-x^3y^9+h(y)
Derivando em y e igualando a tilde N:
Phiy =2x^7y-9x^3y^8+h'(y) overset!=2x^7y-9x^3y^8 ;implies; h'(y)=0
Assim Phi(x,y)=x^7y^2-x^3y^9+C.

Resposta

x^7y^2-x^3y^9=C

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