Resolva a equação diferencial
, dado que existe um fator de integração da forma
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
sabendo que existe um fator integrante da forma
. O conteúdo é exatidão de equações diferenciais e fator integrante, e vamos precisar determinar
e
de modo que, multiplicando por
, a equação se torne exata.
Passo 2
Multiplicamos
e
por
, obtendo
A condição de exatidão é
Passo 3
Calculamos as derivadas:
Igualando coeficientes de
e de
, obtemos o sistema
Da segunda equação segue
, ou seja
. Substituindo na primeira:
Logo
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, ficando
Chamando
e
, procuramos
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
:
Assim
.