Determine e faça o esboço do domínio da função;
f(x, y)=3 x+5 yx^2+y^2-4

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio de
f(x,y)=3x+5yx^2+y^2-4
ou seja, o conjunto de todos os pares (x,y) em R^2 para os quais f está bem definida. Como temos uma divisão, precisamos garantir que o denominador não seja zero.

Passo 2

Identificamos a condição de existência de f a partir do denominador:
x^2 + y^2 - 4 neq 0
Isso equivale a
x^2 + y^2 neq 4

Passo 3

Geométricamente, a igualdade x^2 + y^2 = 4 representa a circunferência de raio 2 centrada na origem. Como queremos tudo que não está nessa circunferência, o domínio se divide em duas regiões:
(x,y)mid x^2+y^2<4e(x,y)mid x^2+y^2>4

Passo 4

Para esboçar o domínio, desenhe o plano cartesiano e trace a circunferência de raio 2 (sem preenchê-la, pois ela não pertence ao domínio). Em seguida, sombreie (ou apenas indique) as regiões interior e exterior a essa circunferência, mostrando que todo ponto dentro e todo ponto fora são válidos, mas os pontos exatamente sobre a circunferência não.

Resposta

D = (x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 neq 4

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