Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contornos (curvas de nível) da função
Para isso, vamos usar o conceito de curva de nível: o conjunto de pontos
em que
é constante, digamos
.
Passo 2
Escrevemos a condição de nível genérico:
onde
é um parâmetro real que indica o “nível” da curva. A forma dessa equação é a de uma hipérbole nos casos
, e de duas retas quando
.
Passo 3
Analisando cada caso:
- Se
, temos hipérboles com eixos transversos na direção . As assimptotas são as retas Para valores maiores de , as ramificações se afastam mais do eixo . - Se
, a “hipérbole degenerada” vira duas retas: - Se
, inverte-se a abertura: as ramificações ficam apontadas para cima e para baixo, ainda com as mesmas assimptotas . Quanto mais negativo , mais longe do eixo essas curvas ficam.
Passo 4
Para montar o mapa de contornos, escolhemos alguns níveis representativos, por exemplo
Em um esboço no plano
:
- Desenhe as linhas
(caso ). - Para
e , desenhe hipérboles abrindo à direita e à esquerda. A de fica mais “larga” do que a de . - Para
e , desenhe hipérboles abrindo para cima e para baixo. A de fica mais afastada do eixo que a de .
Resposta
O mapa de contornos de
é formado pelas curvas
para diversos valores de
. Em particular:
- Para
, hipérboles com ramos à esquerda e à direita. - Para
, as retas . - Para
, hipérboles com ramos para cima e para baixo.
Escolhendo
temos um conjunto de curvas que ilustram bem o mapa de contornos.