Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contornos (curvas de nível) da função
f(x,y)=x^2-y^2
Para isso, vamos usar o conceito de curva de nível: o conjunto de pontos (x,y) em que f(x,y) é constante, digamos c.

Passo 2

Escrevemos a condição de nível genérico:
x^2-y^2=c,
onde c é um parâmetro real que indica o “nível” da curva. A forma dessa equação é a de uma hipérbole nos casos cneq0, e de duas retas quando c=0.

Passo 3

Analisando cada caso:
  • Se c>0, temos hipérboles com eixos transversos na direção x. As assimptotas são as retas y=pm x Para valores maiores de c, as ramificações se afastam mais do eixo y.
  • Se c=0, a “hipérbole degenerada” vira duas retas: x^2-y^2=0Longrightarrow y=pm x
  • Se c<0, inverte-se a abertura: as ramificações ficam apontadas para cima e para baixo, ainda com as mesmas assimptotas y=pm x. Quanto mais negativo c, mais longe do eixo x essas curvas ficam.

Passo 4

Para montar o mapa de contornos, escolhemos alguns níveis representativos, por exemplo
c=-2,,-1,,0,,1,,2
Em um esboço no plano (x,y):
  • Desenhe as linhas y=pm x (caso c=0).
  • Para c=1 e c=2, desenhe hipérboles abrindo à direita e à esquerda. A de c=2 fica mais “larga” do que a de c=1.
  • Para c=-1 e c=-2, desenhe hipérboles abrindo para cima e para baixo. A de c=-2 fica mais afastada do eixo x que a de c=-1.

Resposta

O mapa de contornos de f(x,y)=x^2-y^2 é formado pelas curvas
x^2-y^2=c
para diversos valores de c. Em particular:
  • Para c>0, hipérboles com ramos à esquerda e à direita.
  • Para c=0, as retas y=pm x.
  • Para c<0, hipérboles com ramos para cima e para baixo.
Escolhendo c=-2,-1,0,1,2 temos um conjunto de curvas que ilustram bem o mapa de contornos.

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