Considere a equação
onde
é uma constante real.
(a) Quais são as possíveis soluções gerais da equação acima em função do valor real
?
(b) Para quis valores de
temos que
para qualquer solução
independentemente das condições iniciais?
(a) Quais são as possíveis soluções gerais da equação acima em função do valor real
(b) Para quis valores de
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
é constante real. O método é usar a equação característica para encontrar as raízes e daí escrever a solução geral, e depois estudar para que
todas as soluções satisfazem
.
Passo 2
Escrevendo a equação característica, temos
O discriminante é
As raízes são
Passo 3
Dependendo do sinal de
(ou seja de
), temos três casos:
Se
então
e as raízes
são reais. A solução geral é
Se
então
e a raiz é única
. A solução geral é
Se
então
e as raízes são complexas conjugadas
A solução geral é
Passo 4
Para que toda solução satisfaça
devemos ter partes reais das raízes estritamente negativas.
- Se
, verifica-se que em todos os três casos , pois quando as raízes são reais a maior delas é , e quando são complexas a parte real é . - Se
, ou surgem modos não decrescentes ( dá oscilações permanentes) ou vêm raízes com parte real positiva ( ).
Logo, o decaimento para zero em todas as condições iniciais ocorre exatamente quando
.
Resposta
(a) As soluções gerais são, com
:
(b) Tem-se
para qualquer solução se, e somente se,
.