Considere a equação
y^prime prime+4 b y^prime+y=0
onde b é uma constante real.
(a) Quais são as possíveis soluções gerais da equação acima em função do valor real b ?
(b) Para quis valores de b temos que lim t +infty y(t)=0 para qualquer solução y=y(t) independentemente das condições iniciais?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4b,y' + y = 0,
onde b é constante real. O método é usar a equação característica para encontrar as raízes e daí escrever a solução geral, e depois estudar para que b todas as soluções satisfazem limtto+inftyy(t)=0.

Passo 2

Escrevendo a equação característica, temos
r^2 + 4b,r + 1 = 0
O discriminante é
De<a = (4b)^2 - 4cdot1cdot1 = 16b^2 - 4 = 4,(4b^2 -1)
As raízes são
r1,2 = -4b pm raizDe<a2 = -2b pm tfrac12raiz16b^2-4 = -2b pm raiz4b^2-1

Passo 3

Dependendo do sinal de De<a (ou seja de 4b^2-1), temos três casos:
Se b > tfrac12 então 4b^2-1>0 e as raízes r1neq r2 são reais. A solução geral é
y(t) = C1 e^l(-2b + raiz4b^2-1r)t + C2 e^l(-2b - raiz4b^2-1r)t
Se b = tfrac12 então 4b^2-1=0 e a raiz é única r=-2b=-1. A solução geral é
y(t) = (C1 + C2,t),e^-t
Se b < tfrac12 então 4b^2-1<0 e as raízes são complexas conjugadas
r = -2b pm i,raiz1-4b^2
A solução geral é
y(t) = e^-2b tl(Acosl(raiz1-4b^2,tr) + Bsinl(raiz1-4b^2,tr)r)

Passo 4

Para que toda solução satisfaça limtto+inftyy(t)=0 devemos ter partes reais das raízes estritamente negativas.
  • Se b>0, verifica-se que em todos os três casos Re(r)<0, pois quando as raízes são reais a maior delas é -2b+raiz4b^2-1<0, e quando são complexas a parte real é -2b<0.
  • Se b<=0, ou surgem modos não decrescentes ( b=0 dá oscilações permanentes) ou vêm raízes com parte real positiva ( b<0).
Logo, o decaimento para zero em todas as condições iniciais ocorre exatamente quando b>0.

Resposta

(a) As soluções gerais são, com r1,2=-2bpmraiz4b^2-1:
se b>tfrac12:; y(t)=C1e^r1t+C2e^r2t,
se b=tfrac12:; y(t)=(C1+C2,t)e^-t,
se b<tfrac12:; y(t)=e^-2btl(Acos(omega t)+Bsin(omega t)r), omega=raiz1-4b^2
(b) Tem-se limtto+inftyy(t)=0 para qualquer solução se, e somente se, b>0.

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