Considere a equação a y'' + b y' + c y = 0, em que a, b e c são constantes com a > 0. Encontre condições sobre a, b e c para que as raízes da equação característica sejam:
reais, diferentes e positivas.
Em cada caso, determine o comportamento da solução quando t -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
onde . A tarefa é encontrar condições sobre os coeficientes , e para que as raízes da equação característica sejam reais, diferentes e positivas. Depois, precisamos ver como a solução se comporta quando vai para o infinito.
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e analisar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos formar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica para:
é:

Passo 3

Queremos que as raízes dessa equação característica sejam reais e diferentes. Para isso, o discriminante da equação quadrática deve ser positivo. O discriminante é dado por:
Então, para ter raízes reais e diferentes:

Passo 4

Além de serem reais e diferentes, precisamos que as raízes sejam positivas. Vamos chamar as raízes de e .
Pela fórmula de Bhaskara:
Para que ambas as raízes sejam positivas, o numerador deve ser positivo já que . Mas, uma maneira mais fácil de garantir isso é usar as soma e o produto das raízes:
  • Soma das raízes:
Para que a soma seja positiva:
  • Produto das raízes:
Para que o produto seja positivo:
(já que )

Passo 5

Resumindo as condições que encontramos:
  1. Discriminante positivo:
  1. Coeficiente negativo:
  1. Coeficiente positivo:
Essas três condições garantem que as raízes da equação característica sejam reais, diferentes e positivas.

Passo 6

Agora, vamos ver como a solução se comporta quando .
Com as raízes sendo reais, diferentes e positivas, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Como e , os termos e crescem exponencialmente à medida que aumenta. Portanto, quando :
  • Se e são positivos, tende para .
  • Se um dos coeficientes for negativo, pode tender para dependendo dos valores específicos de e .

Resposta

As condições necessárias para que as raízes da equação característica sejam reais, diferentes e positivas são:
Além disso, quando , a solução da equação diferencial tende para ou , dependendo dos valores das constantes e na solução geral.

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