Considere a equação
, em que
e
são constantes com
. Encontre condições sobre
e
para que as raízes da equação característica sejam:
reais, diferentes e positivas.
Em cada caso, determine o comportamento da solução quando
.
reais, diferentes e positivas.
Em cada caso, determine o comportamento da solução quando
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
onde
. A tarefa é encontrar condições sobre os coeficientes
,
e
para que as raízes da equação característica sejam reais, diferentes e positivas. Depois, precisamos ver como a solução se comporta quando
vai para o infinito.
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e analisar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos formar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica para:
é:
Passo 3
Queremos que as raízes dessa equação característica sejam reais e diferentes. Para isso, o discriminante da equação quadrática deve ser positivo. O discriminante
é dado por:
Então, para ter raízes reais e diferentes:
Passo 4
Além de serem reais e diferentes, precisamos que as raízes sejam positivas. Vamos chamar as raízes de
e
.
Pela fórmula de Bhaskara:
Para que ambas as raízes sejam positivas, o numerador deve ser positivo já que
. Mas, uma maneira mais fácil de garantir isso é usar as soma e o produto das raízes:
- Soma das raízes:
Para que a soma seja positiva:
- Produto das raízes:
Para que o produto seja positivo:
Passo 5
Resumindo as condições que encontramos:
- Discriminante positivo:
- Coeficiente
negativo:
- Coeficiente
positivo:
Essas três condições garantem que as raízes da equação característica sejam reais, diferentes e positivas.
Passo 6
Agora, vamos ver como a solução se comporta quando
.
Com as raízes sendo reais, diferentes e positivas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Como
e
, os termos
e
crescem exponencialmente à medida que
aumenta. Portanto, quando
:
- Se
e são positivos, tende para . - Se um dos coeficientes for negativo,
pode tender para dependendo dos valores específicos de e .
Resposta
As condições necessárias para que as raízes da equação característica sejam reais, diferentes e positivas são:
Além disso, quando
, a solução da equação diferencial tende para
ou
, dependendo dos valores das constantes
e
na solução geral.