Valores extremos de funções - Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone de raio 6 cm e 15 cm de altura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de achar as dimensões do cilindro de maior volume que cabe dentro de um cone com raio de 6 cm e altura de 15 cm. Aqui, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente otimização de funções. Precisamos relacionar as dimensões do cilindro com as do cone e depois encontrar o máximo volume possível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o cilindro se encaixa no cone. Imagine que o cilindro está deitado dentro do cone, tocando as laterais do cone. Se chamarmos a altura do cilindro de
e o raio da base do cilindro de
, podemos relacionar
e
usando semelhança de triângulos.
Passo 3
No cone, temos um triângulo formado pela altura e pelo raio. Quando o cilindro está inscrito, formamos um triângulo menor dentro do cone. Pela semelhança dos triângulos:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Passo 4
Agora, queremos maximizar o volume do cilindro. A fórmula do volume de um cilindro é:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Para encontrar o valor máximo de
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Simplificando a equação:
Factorizando
:
Resolvendo:
Passo 6
Agora que temos
cm, podemos encontrar
usando a relação que obtivemos:
Resposta
As dimensões do cilindro de maior volume que pode ser inscrito no cone são: altura
cm e raio da base
cm.