Valores extremos de funções - Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone de raio 6 cm e 15 cm de altura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de achar as dimensões do cilindro de maior volume que cabe dentro de um cone com raio de 6 cm e altura de 15 cm. Aqui, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente otimização de funções. Precisamos relacionar as dimensões do cilindro com as do cone e depois encontrar o máximo volume possível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o cilindro se encaixa no cone. Imagine que o cilindro está deitado dentro do cone, tocando as laterais do cone. Se chamarmos a altura do cilindro de e o raio da base do cilindro de , podemos relacionar e usando semelhança de triângulos.

Passo 3

No cone, temos um triângulo formado pela altura e pelo raio. Quando o cilindro está inscrito, formamos um triângulo menor dentro do cone. Pela semelhança dos triângulos:
Isso nos dá uma relação entre e :

Passo 4

Agora, queremos maximizar o volume do cilindro. A fórmula do volume de um cilindro é:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Para encontrar o valor máximo de , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Simplificando a equação:
Factorizando :
Resolvendo:

Passo 6

Agora que temos cm, podemos encontrar usando a relação que obtivemos:

Resposta

As dimensões do cilindro de maior volume que pode ser inscrito no cone são: altura cm e raio da base cm.

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