Teorema de Rolle - Dada f(x) = 4*x^3 - 9*x comprove que as três condições ou hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos, [-3/2,0] e [ 0,3/2]. Ache então um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f'(c) = 0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para usar o Teorema de Rolle na função nos intervalos e . O Teorema de Rolle faz parte do cálculo diferencial e nos ajuda a identificar pontos onde a derivada da função é zero. Para aplicar esse teorema, precisamos verificar três condições: a função deve ser contínua no intervalo fechado, diferenciável no intervalo aberto e os valores das extremidades do intervalo devem ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua nos intervalos e . Como é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo o seu domínio, ou seja, em todos os números reais. Portanto, a primeira condição do Teorema de Rolle está satisfeita em ambos os intervalos.

Passo 3

Agora, vamos conferir se a função é diferenciável nos intervalos abertos e . Novamente, como é um polinômio, ela é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Assim, a segunda condição do Teorema de Rolle também está atendida em ambos os intervalos.

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar se os valores da função nas extremidades de cada intervalo são iguais. Vamos calcular:
Para o intervalo :
Para o intervalo :
Em ambos os intervalos, . Assim, a terceira condição do Teorema de Rolle está satisfeita.

Passo 5

Como todas as condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas, sabemos que existe pelo menos um valor em cada intervalo onde a derivada da função é zero, ou seja, .
Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para :

Passo 6

Vamos verificar quais desses valores estão dentro dos intervalos dados:
Para o intervalo :
Este valor está dentro do intervalo .
Para o intervalo :
Este valor está dentro do intervalo .

Resposta

Os valores de são:
  • No intervalo ,
  • No intervalo ,

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