Teorema de Rolle - Dada
comprove que as três condições ou hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos, [-3/2,0] e [ 0,3/2]. Ache então um valor de c em cada um desses intervalos para os quais
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para usar o Teorema de Rolle na função
nos intervalos
e
. O Teorema de Rolle faz parte do cálculo diferencial e nos ajuda a identificar pontos onde a derivada da função é zero. Para aplicar esse teorema, precisamos verificar três condições: a função deve ser contínua no intervalo fechado, diferenciável no intervalo aberto e os valores das extremidades do intervalo devem ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua nos intervalos
e
. Como
é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo o seu domínio, ou seja, em todos os números reais. Portanto, a primeira condição do Teorema de Rolle está satisfeita em ambos os intervalos.
Passo 3
Agora, vamos conferir se a função é diferenciável nos intervalos abertos
e
. Novamente, como
é um polinômio, ela é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Assim, a segunda condição do Teorema de Rolle também está atendida em ambos os intervalos.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar se os valores da função nas extremidades de cada intervalo são iguais. Vamos calcular:
Para o intervalo
:
Para o intervalo
:
Em ambos os intervalos,
. Assim, a terceira condição do Teorema de Rolle está satisfeita.
Passo 5
Como todas as condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas, sabemos que existe pelo menos um valor
em cada intervalo onde a derivada da função é zero, ou seja,
.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para
:
Passo 6
Vamos verificar quais desses valores estão dentro dos intervalos dados:
Para o intervalo
:
Este valor está dentro do intervalo
.
Para o intervalo
:
Este valor está dentro do intervalo
.
Resposta
Os valores de
são:
- No intervalo
, - No intervalo
,