Considere a equação a y'' + b y' + c y = 0, em que a, b e c são constantes com a > 0. Encontre condições sobre a, b e c para que as raízes da equação característica sejam:
reais, diferentes e negativas;
Em cada caso, determine o comportamento da solução quando t -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial , onde a, b e c são constantes e . Nosso objetivo é encontrar condições sobre esses coeficientes a, b e c para que as raízes da equação característica sejam reais, diferentes e negativas. Além disso, vamos analisar como a solução se comporta quando t tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e suas equações características.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é dada por:
Onde r representa as raízes da equação. Essas raízes determinam o tipo de solução que teremos.

Passo 3

Para que as raízes sejam reais e diferentes, o discriminante da equação característica deve ser positivo. O discriminante ( Delta) é calculado assim:
Então, para termos raízes reais e diferentes, precisamos que:

Passo 4

Além disso, queremos que ambas as raízes sejam negativas. As raízes de uma equação quadrática são dadas por:
Para que ambas sejam negativas, tanto a soma quanto o produto das raízes devem ser positivos (já que, se as raízes forem negativas, sua soma e produto serão positivos). As condições são:
  1. Soma das raízes:
  2. Produto das raízes:
Então, além do discriminante positivo, devemos ter e .

Passo 5

Agora, sobre o comportamento da solução quando t -> infinito: como as raízes são reais, diferentes e negativas, a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear de exponenciais decrescentes. Ou seja, as soluções vão para zero conforme t cresce, indicando que o sistema é estável e retorna ao equilíbrio.

Resposta

Para que as raízes da equação característica sejam reais, diferentes e negativas, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
Além disso, a solução da equação diferencial tende a zero quando t -> infinito.

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