Considere a equação
, em que
e
são constantes com
. Encontre condições sobre
e
para que as raízes da equação característica sejam:
reais, diferentes e negativas;
Em cada caso, determine o comportamento da solução quando
.
reais, diferentes e negativas;
Em cada caso, determine o comportamento da solução quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
, onde
,
e
são constantes e
. Nosso objetivo é encontrar condições sobre esses coeficientes
,
e
para que as raízes da equação característica sejam reais, diferentes e negativas. Além disso, vamos analisar como a solução se comporta quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e suas equações características.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é dada por:
Onde
representa as raízes da equação. Essas raízes determinam o tipo de solução que teremos.
Passo 3
Para que as raízes sejam reais e diferentes, o discriminante da equação característica deve ser positivo. O discriminante (
) é calculado assim:
Então, para termos raízes reais e diferentes, precisamos que:
Passo 4
Além disso, queremos que ambas as raízes sejam negativas. As raízes de uma equação quadrática são dadas por:
Para que ambas sejam negativas, tanto a soma quanto o produto das raízes devem ser positivos (já que, se as raízes forem negativas, sua soma e produto serão positivos). As condições são:
- Soma das raízes:
- Produto das raízes:
Então, além do discriminante positivo, devemos ter
e
.
Passo 5
Agora, sobre o comportamento da solução quando
: como as raízes são reais, diferentes e negativas, a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear de exponenciais decrescentes. Ou seja, as soluções vão para zero conforme
cresce, indicando que o sistema é estável e retorna ao equilíbrio.
Resposta
Para que as raízes da equação característica
sejam reais, diferentes e negativas, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
Além disso, a solução da equação diferencial tende a zero quando
.