Determine se os pontos de descontinuidade da função f(x) = (x^2 - 4) / (x^4 - 16) são removível ou essencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se os pontos onde a função não é contínua são descontinuidades removíveis ou essenciais. Isso envolve conceitos de funções racionais, descontinuidades e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode não ser contínua. Isso acontece quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero. Então, vamos resolver a equação do denominador:

Passo 3

Resolvendo :
Portanto, os pontos onde a função pode não ser contínua são e .

Passo 4

Agora, vamos simplificar a função para verificar o tipo de descontinuidade. Observamos que o numerador também pode ser fatorado:
E o denominador já temos:

Passo 5

Substituindo de volta na função :
Agora, podemos simplificar cancelando os termos comuns no numerador e denominador:

Passo 6

Com a função simplificada, vemos que está definida para todo exceto e . No entanto, se calcularmos o limite de quando se aproxima de 2 ou de -2, teremos:

Passo 7

Como os limites existem e são finitos nos pontos e , podemos dizer que as descontinuidades nesses pontos são removíveis. Isso significa que, se definirmos e , a função se tornaria contínua nesses pontos.

Resposta

Os pontos de descontinuidade da função são e , e ambas são descontinuidades removíveis.

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