Determine se os pontos de descontinuidade da função
são removível ou essencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se os pontos onde a função
não é contínua são descontinuidades removíveis ou essenciais. Isso envolve conceitos de funções racionais, descontinuidades e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode não ser contínua. Isso acontece quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Passo 3
Resolvendo
:
Portanto, os pontos onde a função pode não ser contínua são
e
.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a função para verificar o tipo de descontinuidade. Observamos que o numerador também pode ser fatorado:
E o denominador já temos:
Passo 5
Substituindo de volta na função
:
Agora, podemos simplificar cancelando os termos comuns no numerador e denominador:
Passo 6
Com a função simplificada, vemos que
está definida para todo
exceto
e
. No entanto, se calcularmos o limite de
quando
se aproxima de 2 ou de -2, teremos:
Passo 7
Como os limites existem e são finitos nos pontos
e
, podemos dizer que as descontinuidades nesses pontos são removíveis. Isso significa que, se definirmos
e
, a função se tornaria contínua nesses pontos.
Resposta
Os pontos de descontinuidade da função
são
e
, e ambas são descontinuidades removíveis.