Considere a equação a y'' + b y' + c y = 0, em que a, b e c são constantes com a > 0. Encontre condições sobre a, b e c para que as raízes da equação característica sejam:
reais com sinais opostos;
Em cada caso, determine o comportamento da solução quando t -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a equação diferencial de segunda ordem , onde , e são constantes e . Nosso objetivo é encontrar condições sobre esses coeficientes , e para que as raízes da equação característica sejam reais com sinais opostos. Além disso, precisamos determinar como a solução se comporta quando tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem: Principalmente como encontrar a solução geral usando a equação característica.
  2. Equação Característica: Uma ferramenta que nos ajuda a encontrar as raízes que determinam o tipo de solução.
  3. Discriminante da Equação Quadrática: Para saber se as raízes são reais ou complexas e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, como a nossa, a gente assume que a solução tem a forma , onde é uma constante. Substituindo isso na equação, obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, para encontrar as raízes dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
O que determina se as raízes são reais ou complexas é o discriminante .
  • Se : Duas raízes reais e distintas.
  • Se : Duas raízes reais e iguais.
  • Se : Duas raízes complexas conjugadas.
No nosso caso, queremos que as raízes sejam reais com sinais opostos.

Passo 4

Para que as raízes sejam reais, precisamos que o discriminante seja positivo:
Além disso, para que elas tenham sinais opostos, o produto das raízes deve ser negativo. Sabemos que o produto das raízes de uma equação quadrática é . Então, queremos:
Já que , isso implica que deve ser negativo:

Passo 5

Resumindo as condições:
  1. Discriminante positivo para raízes reais:
  2. Produto das raízes negativo para sinais opostos:
Então, as condições sobre , e são:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento da solução quando . Como as raízes são reais e de sinais opostos, uma raiz será positiva ( ) e a outra será negativa ( ).
A solução geral da equação diferencial é:
Com e :
  • O termo cresce exponencialmente à medida que aumenta.
  • O termo decresce exponencialmente à medida que aumenta.
Portanto, o comportamento dominante quando é determinado pelo termo que cresce, ou seja, . Isso significa que a solução tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo dos valores de e .

Resposta

As condições sobre , e são:
Quando , a solução da equação diferencial tende ao infinito, dominada pelo termo exponencial com a raiz positiva.

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