Considere a equação
, em que
e
são constantes com
. Encontre condições sobre
e
para que as raízes da equação característica sejam:
reais com sinais opostos;
Em cada caso, determine o comportamento da solução quando
.
reais com sinais opostos;
Em cada caso, determine o comportamento da solução quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a equação diferencial de segunda ordem
, onde
,
e
são constantes e
. Nosso objetivo é encontrar condições sobre esses coeficientes
,
e
para que as raízes da equação característica sejam reais com sinais opostos. Além disso, precisamos determinar como a solução se comporta quando
tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem: Principalmente como encontrar a solução geral usando a equação característica.
- Equação Característica: Uma ferramenta que nos ajuda a encontrar as raízes que determinam o tipo de solução.
- Discriminante da Equação Quadrática: Para saber se as raízes são reais ou complexas e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, como a nossa, a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é uma constante. Substituindo isso na equação, obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, para encontrar as raízes dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
O que determina se as raízes são reais ou complexas é o discriminante
.
- Se
: Duas raízes reais e distintas. - Se
: Duas raízes reais e iguais. - Se
: Duas raízes complexas conjugadas.
No nosso caso, queremos que as raízes sejam reais com sinais opostos.
Passo 4
Para que as raízes sejam reais, precisamos que o discriminante seja positivo:
Além disso, para que elas tenham sinais opostos, o produto das raízes deve ser negativo. Sabemos que o produto das raízes de uma equação quadrática
é
. Então, queremos:
Já que
, isso implica que
deve ser negativo:
Passo 5
Resumindo as condições:
-
Discriminante positivo para raízes reais:
-
Produto das raízes negativo para sinais opostos:
Então, as condições sobre
,
e
são:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento da solução quando
. Como as raízes são reais e de sinais opostos, uma raiz será positiva (
) e a outra será negativa (
).
A solução geral da equação diferencial é:
Com
e
:
- O termo
cresce exponencialmente à medida que aumenta. - O termo
decresce exponencialmente à medida que aumenta.
Portanto, o comportamento dominante quando
é determinado pelo termo que cresce, ou seja,
. Isso significa que a solução tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo dos valores de
e
.
Resposta
As condições sobre
,
e
são:
Quando
, a solução da equação diferencial tende ao infinito, dominada pelo termo exponencial com a raiz positiva.