Seja e seja , uma curva cuja imagem está contida no gráfico de .
c) Determine a reta tangente a no ponto ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa um gráfico 3D. Além disso, temos uma curva que está totalmente sobre esse gráfico. O que precisamos fazer aqui é descobrir a reta tangente a essa curva no ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e vetores tangentes.
Passo 2
Primeiro, já que a curva está no gráfico de , isso significa que a terceira coordenada deve satisfazer a equação do gráfico. Ou seja:
Como , temos e . Substituindo na equação de :
Portanto, a curva fica .
Passo 3
Agora, queremos a reta tangente no ponto . Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde a esse ponto. Observando a coordenada :
Como , escolhemos .
Passo 4
Para achar a reta tangente, precisamos do vetor tangente à curva no ponto . Isso é dado pela derivada da curva em relação a :
Calculando as derivadas:
Então,
No ponto :
Passo 5
Com o vetor tangente e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral é:
Onde é o ponto de tangência e são as componentes do vetor tangente, e é o parâmetro.
Substituindo:
Resposta
A reta tangente a no ponto é dada pelas equações paramétricas: