Seja f(x, y) = x^2 + y^2 e seja gamma(t) = (t, t, z(t)), t em R, uma curva cuja imagem está contida no gráfico de f.
c) Determine a reta tangente a gamma no ponto (1, 1, 2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa um gráfico 3D. Além disso, temos uma curva que está totalmente sobre esse gráfico. O que precisamos fazer aqui é descobrir a reta tangente a essa curva no ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e vetores tangentes.

Passo 2

Primeiro, já que a curva está no gráfico de , isso significa que a terceira coordenada deve satisfazer a equação do gráfico. Ou seja:
Como , temos e . Substituindo na equação de :
Portanto, a curva fica .

Passo 3

Agora, queremos a reta tangente no ponto . Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde a esse ponto. Observando a coordenada :
Como , escolhemos .

Passo 4

Para achar a reta tangente, precisamos do vetor tangente à curva no ponto . Isso é dado pela derivada da curva em relação a :
Calculando as derivadas:
Então,
No ponto :

Passo 5

Com o vetor tangente e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral é:
Onde é o ponto de tangência e são as componentes do vetor tangente, e é o parâmetro.
Substituindo:

Resposta

A reta tangente a no ponto é dada pelas equações paramétricas:
Onde é o parâmetro real.

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