Considere a equação a y^prime prime+b y^prime+c y=0 com a, b, c in R, a neq 0 e b^2-4 a c=0. verifique que
y1(t)=e^-b2 a t
é uma solução da equação.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que uma função do tipo exponencial resolve a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes e discriminante nulo. A equação é a y'' + b y' + c y = 0 com b^2 - 4ac = 0, e vamos precisar usar derivação de exponenciais e a condição do discriminante.

Passo 2

Começamos definindo y1(t) = e^-b2at. Aplicando a regra da cadeia, sua primeira derivada é y1'(t) = -b2ae^-b2at. Derivando de novo, a segunda derivada fica y1''(t) = (-b2a)^2 e^-b2at = b^24a^2 ,e^-b2at.

Passo 3

Substituindo em a y'' + b y' + c y, obtemos:
LHS = a,y1'' + b,y1' + c,y1 = l[al(b2ar)^2 - bl(b2ar) + cr],e^-b2at
Agora simplificamos o coeficiente dentro dos colchetes:
al(b2ar)^2 - bl(b2ar) + c = b^24a - b^22a + c = -b^24a + c

Passo 4

Como b^2 - 4ac = 0 temos c = b^24a. Logo
-b^24a + c = -b^24a + b^24a = 0,
portanto LHS = 0 e y1 satisfaz a equação original.

Resposta

Como a substituição de y1, y1' e y1'' leva a a y1'' + b y1' + c y1 = 0, concluímos que y1(t)=e^-b2at é de fato uma solução.

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