Encontre o menor limite superior e o maior limite inferior (se existirem) dos seguintes conjuntos. Também decida quais conjuntos têm maiores e menores elementos (isto é, decida quando o menor limite superior e o maior limite inferior pertencem ao conjunto).
.
Passo 1
O enunciado pede para achar o ínfimo, o supremo e decidir se existem mínimo e máximo do conjunto A = { x ∈ ℝ : x² + x − 1 < 0 }. Isso envolve teoria de desigualdades quadráticas e propriedades de supremum e infimum.
Passo 2
Vamos resolver a equação associada à fronteira da desigualdade, isto é, x² + x − 1 = 0. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 3
Como o coeficiente de x² é positivo, a parábola abre para cima e a expressão x² + x − 1 é negativa exatamente entre as raízes. Portanto, o conjunto solução é
Passo 4
Desse intervalo concluímos que o ínfimo de A é
e o supremo de A é
.
Como a desigualdade é estrita, os pontos e
não pertencem ao conjunto A, logo não há mínimo nem máximo.
Como a desigualdade é estrita, os pontos
Resposta
Ínfimo =
, Supremo =
. Não há mínimo nem máximo.