Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
x d x+y e^-x d y=0, com y(1)=-1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial da equação diferencial
x dx + y e^{−x} dy = 0 com y(1)=−1. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas e fator integrante, pois a equação não é exata à primeira vista.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=x e N(x,y)=y e^{−x}. Calculamos
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=-y,e^-x
Como não são iguais, a equação não é exata. Procuramos um fator integrante μ(x) que dependa só de x. A condição para μ(x) é
1mudmudx=partial M/partial y-partial N/partial xN = 0-(-y e^-x)y e^-x=1
Daí
dmudx=mu implies mu(x)=e^x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por μ(x)=e^x e obtemos
$$x e^x,dx + y,dy = 0,
x e^x,dx + y,dy = 0, éçã\frac{\partial ψ}{\partial x}=x e^x,\quad \frac{\partial ψ}{\partial y}=y.$$

Passo 4

Integramos ∂ψ/∂x = x e^x em relação a x:
ψ(x,y)=integral x e^x,dx = e^x(x-1)+C1(y)
Para determinar C_1(y), usamos ∂ψ/∂y = C1'(y) = y, logo
C1(y)=y^22
Assim a solução implícita é
ψ(x,y)=e^x(x-1)+y^22=C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=−1: substituindo em
e^1(1-1)+(-1)^22=C implies C=12
Logo
$$ex(x-1)+\frac{y2}{2}=\frac12 \implies y2=1-2ex(x-1).
$$
Como y(1)=−1, escolhemos o sinal negativo da raiz.

Passo 6

O resultado final, isolando y, é dado por
y(x)=−\sqrt{1-2e^x(x-1)}.

Resposta

y(x)=−\sqrt{1-2e^x(x-1)}

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