Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial da equação diferencial
x dx + y e^{−x} dy = 0 com y(1)=−1. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas e fator integrante, pois a equação não é exata à primeira vista.
x dx + y e^{−x} dy = 0 com y(1)=−1. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas e fator integrante, pois a equação não é exata à primeira vista.
Passo 2
Identificamos M(x,y)=x e N(x,y)=y e^{−x}. Calculamos
Como não são iguais, a equação não é exata. Procuramos um fator integrante μ(x) que dependa só de x. A condição para μ(x) é
Daí
Passo 3
Multiplicamos a equação original por μ(x)=e^x e obtemos
$$x e^x,dx + y,dy = 0,
Passo 4
Integramos
em relação a x:
Para determinar C_1(y), usamos
Assim a solução implícita é
Passo 5
Aplicamos a condição inicial y(1)=−1: substituindo em
Logo
$$ex(x-1)+\frac{y2}{2}=\frac12 \implies y2=1-2ex(x-1).
$$
Como y(1)=−1, escolhemos o sinal negativo da raiz.
Como y(1)=−1, escolhemos o sinal negativo da raiz.
Passo 6
O resultado final, isolando y, é dado por
y(x)=−\sqrt{1-2e^x(x-1)}.
y(x)=−\sqrt{1-2e^x(x-1)}.
Resposta
y(x)=−\sqrt{1-2e^x(x-1)}