1. Mostre que se sum ak convege absolutamente, então, |sum ak| <= sum|ak|. Dica: use as Sequências de Somas Parciais e desigualdade do triângulo, recursivamente.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede. Queremos mostrar que, se a série sumk=1^infty ak converge absolutamente (ou seja, sumk=1^infty |ak| converge), então o valor da soma infinita satisfaça
l|sumk=1^infty akr| ;<=;sumk=1^infty |ak|
Para isso, vamos usar as sequências de somas parciais e a desigualdade do triângulo de modo recursivo, e por fim passar ao limite.

Passo 2

Definimos as somas parciais das duas séries:
Sn = sumk=1^n ak, Tn = sumk=1^n |ak|
Como sum |ak| converge, a sequência (Tn) converge para algum número finito T. Como sum ak também converge (já que converge absolutamente), (Sn) converge para S.

Passo 3

Mostramos que para todo n vale
|Sn|<= Tn
Fazemos isso por indução usando a desigualdade do triângulo:
  • Base ( n=1):
    |S1| = |a1|<= |a1| = T1.
  • Passo indutivo: suponha |Sn|<= Tn. Então |Sn+1| = |Sn + an+1| <= |Sn| + |an+1| <= Tn + |an+1| = Tn+1
Isso conclui que |Sn|<= Tn para todo n.

Passo 4

Agora, como |Sn|<= Tn e ambas as sequências convergem (Snto S,;Tnto T), podemos passar ao limite ntoinfty na desigualdade e usar a continuidade do valor absoluto:
limntoinfty |Sn| = |,limntoinfty Sn| = |S|, limntoinfty Tn = T = sumk=1^infty |ak|
Logo,
|S| ;<=; sumk=1^infty |ak|

Resposta

Portanto, se sum ak converge absolutamente, então
l|sumk=1^infty akr| ;<=; sumk=1^infty |ak|

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