Mostre que se convege absolutamente, então, . Dica: use as Sequências de Somas Parciais e desigualdade do triângulo, recursivamente.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado pede. Queremos mostrar que, se a série converge absolutamente (ou seja, converge), então o valor da soma infinita satisfaça
Para isso, vamos usar as sequências de somas parciais e a desigualdade do triângulo de modo recursivo, e por fim passar ao limite.
Passo 2
Definimos as somas parciais das duas séries:
Sn = sumk=1^n ak, Tn = sumk=1^n |ak|
Como sum |ak| converge, a sequência (Tn) converge para algum número finito T. Como sum ak também converge (já que converge absolutamente), (Sn) converge para S.
Passo 3
Mostramos que para todo n vale
|Sn|<= Tn
Fazemos isso por indução usando a desigualdade do triângulo:
Agora, como |Sn|<= Tn e ambas as sequências convergem (Snto S,;Tnto T), podemos passar ao limite ntoinfty na desigualdade e usar a continuidade do valor absoluto: