Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x 0 (1+x)^2-1(1+x)^3-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto 0(1+x)^2-1(1+x)^3-1
O conteúdo aqui é cálculo de limites com indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, podemos usar fatoração (desenvolver polinômios) ou a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Primeiro testamos a substituição direta em numerador e denominador:
(1+0)^2-1=0,(1+0)^3-1=0
Logo temos forma indeterminada 0/0, então precisamos manipular algebricamente ou derivar.

Passo 3

Vamos usar fatoração. Expandimos cada termo em série de potências (ou binômio):
(1+x)^2-1 = 1 +2x +x^2 -1 = 2x + x^2 = x(2 + x),
(1+x)^3-1 = 1 +3x +3x^2 + x^3 -1 = 3x +3x^2 + x^3 = xl(3 + 3x + x^2r)
Substituindo na fração:
(1+x)^2-1(1+x)^3-1 = x(2 + x)xl(3 + 3x + x^2r) = 2 + x3 + 3x + x^2,
onde já cancelamos o fator xneq 0.

Passo 4

Agora a função simplificada 2+x3+3x+x^2 é contínua em x=0, então basta substituir x=0:
limxto 02 + x3 + 3x + x^2 = 2 + 03 + 0 + 0 = 23

Resposta

23

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