Considere as equações 1 e 2 abaixo:
\begin{array}{lll} \mathrm{BaCO}_{3}(\mathrm{~s}) \rightleftharpoons \mathrm{Ba}^{2+}(\mathrm{aq})+\mathrm{CO}_{3}{ }^{2-}(\mathrm{aq}) & \mathrm{K}_{\mathrm{ps}}=5,0 \times 10^{-9} & \text { .eq. } 1 \\\ \mathrm{BaCl}_{2}(\mathrm{aq})+\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}(\mathrm{aq}) \rightleftharpoons \mathrm{BaCO}_{3}(\mathrm{~s})+2 \mathrm{Na}^{+}(\mathrm{aq})+2 \mathrm{Cl}^{-}(\mathrm{aq}) & & \text { eq. } 2 \end{array}
Mostre, com cálculos:
b) se 12,0 \mathrm{mg} de \mathrm{BaCO}_{3} dissolvem totalmente, ou não, em 2,50 \mathrm{~L} de uma solução aquosa de \mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3} 3,80 \times 10^{-6} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}. Considere que o \mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3} está totalmente dissolvido nessa solução.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (todos os números foram retirados do enunciado):
  • Queremos saber se \,12,0\\ \text{mg}\, de \mathrm{BaCO}_3 dissolvem totalmente em \,2,50\\ \text{L}\, de solução aquosa que contém \mathrm{Na}_2\mathrm{CO}_3 com concentração \,3,80\times10^{-6}\\ \text{mol L}^{-1}. O enunciado diz que o \mathrm{Na}_2\mathrm{CO}_3 está totalmente dissociado.
  • A constante de solubilidade fornecida é \mathrm{K_{ps}}=5,0\times10^{-9} para a reação \mathrm{BaCO}_{3}(s)\rightleftharpoons \mathrm{Ba}^{2+}(aq)+\mathrm{CO}_3^{2-}(aq).
Informações numéricas úteis que vamos usar:
  • Volume da solução: \,V=2,50\\ \text{L}.
  • Concentração inicial de \mathrm{CO}_3^{2-} proveniente do \mathrm{Na}_2\mathrm{CO}_3: \,[\mathrm{CO}_3^{2-}]_0 = 3,80\times10^{-6}\\ \text{mol L}^{-1}.
  • Massa de \mathrm{BaCO}_3 disponível: \,m_{\text{disp}}=12,0\\ \text{mg}=0,0120\\ \text{g}.

Passo 2

Entendendo a lei da solubilidade e como modelar a dissolução (explicação passo a passo, explicando cada símbolo):
  • A constante de solubilidade \mathrm{K_{ps}} é definida, para a dissociação \mathrm{BaCO}_{3}(s)\rightleftharpoons \mathrm{Ba}^{2+}+ \mathrm{CO}_3^{2-},por \mathrm{K_{ps}}=[\mathrm{Ba}^{2+}][\mathrm{CO}_3^{2-}],onde [\mathrm{Ba}^{2+}] e [\mathrm{CO}_3^{2-}] são as concentrações molares no equilíbrio (em \text{mol L}^{-1}).
  • Sejam:
    • \,s a solubilidade molar do \mathrm{BaCO}_3 na solução em presença do íon comum (isto é, o número de mols de \mathrm{BaCO}_3 que se dissolvem por litro). Então [\mathrm{Ba}^{2+}]=s.
    • A concentração inicial de \mathrm{CO}_3^{2-} antes da dissolução é [\mathrm{CO}_3^{2-}]_0 = 3,80\times10^{-6}\\ \text{mol L}^{-1}. Quando uma quantidade s de \mathrm{BaCO}_3 se dissolve, ela também libera s de \mathrm{CO}_3^{2-}, então a concentração final de carbonato será [\mathrm{CO}_3^{2-}] = [\mathrm{CO}_3^{2-}]_0 + s.
  • Substituindo na expressão da \mathrm{K_{ps}} obtemos a equação que determina s: \mathrm{K_{ps}}=s\bigl([\mathrm{CO}_3^{2-}]_0 + s\bigr).Esta é uma equação quadrática em s.

Passo 3

Montar e resolver a equação quadrática explicitamente (usar fórmula de Bhaskara e mostrar contas):
  • Escrevendo com os números: 5,0\times10^{-9}=s\bigl(3,80\times10^{-6}+s\bigr).Expandindo: s^2 + (3,80\times10^{-6})s - 5,0\times10^{-9}=0.Esta é da forma a s^2 + b s + c = 0 com a=1, b=3,80\times10^{-6}, c=-5,0\times10^{-9}.
  • Usamos a fórmula quadrática s=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},(escolhemos o sinal + porque queremos a raiz positiva física).
  • Calcular o discriminante: \Delta = b^2-4ac = (3,80\times10^{-6})^2 - 4\cdot1\cdot(-5,0\times10^{-9})
\Delta = (3,80\times10^{-6})^2 + 2,0\times10^{-8}.
Agora os valores numéricos:
(3,80\times10^{-6})^2 = 1,444\times10^{-11},
\Delta = 1,444\times10^{-11} + 2,0\times10^{-8} = 2,0001444\times10^{-8}.
A raiz quadrada:
\sqrt{\Delta}\approx 1,414328\times10^{-4}.
  • Agora aplicar Bhaskara: s=\frac{-3,80\times10^{-6} + 1,414328\times10^{-4}}{2}.Calculando o numerador: -3,80\times10^{-6} + 1,414328\times10^{-4}=1,376328\times10^{-4}.Portanto s \approx \frac{1,376328\times10^{-4}}{2}=6,88164\times10^{-5}\\ \text{mol L}^{-1}.(A outra raiz é negativa e sem sentido físico neste contexto.)

Passo 4

Converter solubilidade molar em massa dissolvida no volume dado e comparar com os \,12,0\\ \text{mg}\, disponíveis:
  • Número de mols de \mathrm{BaCO}_3 que se dissolvem em \,2,50\\ \text{L} é n = s\cdot V = 6,88164\times10^{-5}\times 2,50 = 1,72041\times10^{-4}\\ \text{mol}.
  • Determinar a massa correspondente: primeiro a massa molar de \mathrm{BaCO}_3.
    • Usando massas atômicas aproximadas: \mathrm{Ba}=137,33, \mathrm{C}=12,01, \mathrm{O}=16,00.
    M(\mathrm{BaCO}_3)=137,33+12,01+3\times16,00=197,34\\ \text{g mol}^{-1}.
  • Massa que pode dissolver: m_{\text{dissolv}} = n\cdot M = 1,72041\times10^{-4}\times197,34 = 0,033955\\ \text{g}.Em miligramas: m_{\text{dissolv}} \approx 33,96\\ \text{mg}\approx34,0\\ \text{mg}.
  • Comparação final: a massa máxima de \mathrm{BaCO}_3 que pode dissolver em \,2,50\\ \text{L} dessa solução é aproximadamente \,34,0\\ \text{mg}, que é maior que a massa disponível \,12,0\\ \text{mg}. Logo toda a massa disponibilizada vai dissolver; não haverá precipitado remanescente.

Resposta

Sim. Toda a massa de 12,0\\ \text{mg} dissolve totalmente; a massa máxima que pode dissolver em 2,50\\ \text{L} é aproximadamente 34,0\\ \text{mg}.

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