Considere as equações:
(a)
(b)
Mostre que se
é solução da equação
e
é solução da equação
, então
é solução de
, para qualquer constante
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações diferenciais:
- Equação
: - Equação
:
A missão aqui é mostrar que se
resolve a equação
e
resolve a equação
, então
também resolve a equação
, onde
é qualquer constante. Vamos precisar entender como somar soluções de equações diferenciais e utilizar um pouquinho de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
é solução da equação
. Isso quer dizer que, se a gente substituir
na equação
, ela vai satisfazer a igualdade:
Da mesma forma, como
resolve a equação
, temos:
Passo 3
Agora, vamos construir nossa função
que é uma combinação das duas soluções:
Nosso objetivo é mostrar que essa
também satisfaz a equação
. Para isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e sua derivada na equação
, temos:
Vamos distribuir o
:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos que envolvem
e os que não envolvem:
Mas lembramos que:
e
Substituindo essas igualdades:
Ou seja:
Resposta
Então, mostramos que
satisfaz a equação
. Portanto, qualquer combinação linear dessa forma é solução da equação
.