Considere as equações:
(a) d yd t+p(t) y=0
(b) d yd t+p(t) y=g(t)
Mostre que se y1(t) é solução da equação ( ^*) e y2(t) é solução da equação ( ^* *), então y(t)=c y1(t)+y2(t) é solução de ( ^* *), para qualquer constante c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações diferenciais:
  • Equação *: dydt + p(t) y = 0
  • Equação **: dydt + p(t) y = g(t)
A missão aqui é mostrar que se y1(t) resolve a equação * e y2(t) resolve a equação **, então y(t) = c , y1(t) + y2(t) também resolve a equação **, onde c é qualquer constante. Vamos precisar entender como somar soluções de equações diferenciais e utilizar um pouquinho de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que y1(t) é solução da equação *. Isso quer dizer que, se a gente substituir y1(t) na equação *, ela vai satisfazer a igualdade:
dy1dt + p(t) y1 = 0
Da mesma forma, como y2(t) resolve a equação **, temos:
dy2dt + p(t) y2 = g(t)

Passo 3

Agora, vamos construir nossa função y(t) que é uma combinação das duas soluções:
y(t) = c , y1(t) + y2(t)
Nosso objetivo é mostrar que essa y(t) também satisfaz a equação **. Para isso, vamos calcular a derivada de y(t) em relação a t:
dydt = c , dy1dt + dy2dt

Passo 4

Substituindo y(t) e sua derivada na equação **, temos:
dydt + p(t) y = ( c , dy1dt + dy2dt ) + p(t) ( c , y1 + y2 )
Vamos distribuir o p(t):
= c , dy1dt + dy2dt + c , p(t) y1 + p(t) y2

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos que envolvem c e os que não envolvem:
= c ( dy1dt + p(t) y1 ) + ( dy2dt + p(t) y2 )
Mas lembramos que:
dy1dt + p(t) y1 = 0 (porque y1 resolve *)
e
dy2dt + p(t) y2 = g(t) (porque y2 resolve **)
Substituindo essas igualdades:
= c cdot 0 + g(t) = g(t)
Ou seja:
dydt + p(t) y = g(t)

Resposta

Então, mostramos que y(t) = c , y1(t) + y2(t) satisfaz a equação **. Portanto, qualquer combinação linear dessa forma é solução da equação ( ^**).

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