Determine se cada integral é convergente ou divergente.
integral-infty^infty e^-x1+e^-2 x d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria
integral-infty^infty e^-x1+e^-2x,dx
e pede para decidir se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular seu valor. Vamos estudar o comportamento nos extremos xtoinfty e xto-infty e depois encontrar a primitiva.

Passo 2

Para xtoinfty temos e^-xto0 e e^-2xto0, então
e^-x1+e^-2xsim e^-x,
e sabemos que
integrala^inftye^-x,dx
é convergente. Logo a cauda direita da integral não causa divergência.

Passo 3

Para xto-infty temos e^-xtoinfty e e^-2xtoinfty, de modo que
e^-x1+e^-2xsim e^-xe^-2x=e^x,
e também
integral-infty^be^x,dx
é convergente. Portanto a cauda esquerda também é integrável.

Passo 4

Para calcular a integral exata, note que
e^-x1+e^-2x =e^xe^2x+1
Fazendo a substituição t=e^x, de onde dt=e^xdx, obtemos
e^xe^2x+1,dx =dtt^2+1,
e a integral vira
integral-infty^inftye^-x1+e^-2x,dx =integralt=0^t=inftydtt^2+1 =[arctan(t)]0^infty

Passo 5

Como limttoinftyarctan(t)=pi2 e arctan(0)=0, o valor da integral é
pi2-0=pi2

Resposta

A integral é convergente e vale pi2.

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