Determine se cada integral é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral imprópria
e pede para decidir se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular seu valor. Vamos estudar o comportamento nos extremos
e
e depois encontrar a primitiva.
Passo 2
Para
temos
e
, então
e sabemos que
é convergente. Logo a cauda direita da integral não causa divergência.
Passo 3
Para
temos
e
, de modo que
e também
é convergente. Portanto a cauda esquerda também é integrável.
Passo 4
Para calcular a integral exata, note que
Fazendo a substituição
, de onde
, obtemos
e a integral vira
Passo 5
Como
e
, o valor da integral é
Resposta
A integral é convergente e vale
.