Considere as funções em coordenadas polares
r=16 cos theta e r=4 cos theta
Encontre o valor da área de região dentro de una curva e fora da outra, usando a definiçào por integrais.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares
r=16costheta
e
r=4costheta
e pede a área da região que está dentro de r=16costheta e fora de r=4costheta. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de área em coordenadas polares:
A=tfrac12integraltheta1^theta2r^2,dtheta

Passo 2

Precisamos determinar para quais theta as duas curvas se encontram e qual delas é a “externa” em cada direção. Igualando
16costheta = 4costheta
vem costheta=0, isto é theta=pm tfracpi2. Além disso, para termos r>=0 precisamos costheta>=0, logo
thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r]
Para esses theta, 16costheta é a curva externa e 4costheta a interna.

Passo 3

O area pedido é
A=12integral-pi/2^pi/2l[(16costheta)^2 - (4costheta)^2r],dtheta =12integral-pi/2^pi/2l[256cos^2theta -16cos^2thetar],dtheta =12integral-pi/2^pi/2240cos^2theta,dtheta

Passo 4

Use a identidade cos^2theta=(1+cos2theta)/2:
A=120integral-pi/2^pi/2cos^2theta,dtheta =120integral-pi/2^pi/21+cos2theta2,dtheta =60integral-pi/2^pi/2l(1+cos2thetar),dtheta
Calcule:
integral-pi/2^pi/21,dtheta = pi, integral-pi/2^pi/2cos2theta,dtheta = ltfracsin2theta2r|-pi/2^pi/2=0-0=0
Logo
A=60cdotpi = 60pi

Resposta

A área da região dentro de r=16costheta e fora de r=4costheta é
60pi

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