Mostre que as funções
a) f(x, y)=ln (x^2+y^2)
b) f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^-12
satisfazem às respectivas equações de Laplace:
a) partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0.
b) partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0.
(Uma função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica .)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções abaixo são harmônicas, isto é, satisfazem a equação de Laplace em duas ou três variáveis. Para isso, basta calcular as derivadas parciais de segunda ordem
partial^2 f/partial x^2, partial^2 f/partial y^2 (e partial^2 f/partial z^2 no caso tridimensional) e mostrar que a soma delas é zero.

Passo 2

Para f(x,y)=lnl(x^2+y^2r) temos
partial fpartial x = 2xx^2+y^2, partial fpartial y = 2yx^2+y^2
Derivando novamente,
partial^2 fpartial x^2 =2,(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2 =2,y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
partial^2 fpartial y^2 =2,(x^2+y^2)-2y^2(x^2+y^2)^2 =2,x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Somando,
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2 =2,y^2-x^2+x^2-y^2(x^2+y^2)^2 =0

Passo 3

Para f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^-1/2 defina r^2=x^2+y^2+z^2. Então
partial fpartial x =-x(r^2)^3/2, partial fpartial y =-y(r^2)^3/2, partial fpartial z =-z(r^2)^3/2
Derivando outra vez,
partial^2 fpartial x^2 =3,x^2(r^2)^5/2-1(r^2)^3/2, partial^2 fpartial y^2 =3,y^2(r^2)^5/2-1(r^2)^3/2, partial^2 fpartial z^2 =3,z^2(r^2)^5/2-1(r^2)^3/2
Somando e usando x^2+y^2+z^2=r^2, obtemos
sumu=x,y,zpartial^2 fpartial u^2 =3,r^2(r^2)^5/2-3,1(r^2)^3/2 =3,1(r^2)^3/2 -3,1(r^2)^3/2 =0

Resposta

Ambas as funções satisfazem suas respectivas equações de Laplace e, portanto, são harmônicas.

Exercícios relacionados