Mostre que as funções
a)
b)
satisfazem às respectivas equações de Laplace:
a)
.
b)
.
(Uma função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica .)
a)
b)
satisfazem às respectivas equações de Laplace:
a)
b)
(Uma função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica .)
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as funções abaixo são harmônicas, isto é, satisfazem a equação de Laplace em duas ou três variáveis. Para isso, basta calcular as derivadas parciais de segunda ordem
,
(e
no caso tridimensional) e mostrar que a soma delas é zero.
Passo 2
Para
temos
Derivando novamente,
Somando,
Passo 3
Para
defina
. Então
Derivando outra vez,
Somando e usando
, obtemos
Resposta
Ambas as funções satisfazem suas respectivas equações de Laplace e, portanto, são harmônicas.