Determine se cada integral é convergente ou divergente.
integral-infty^3 1x^2+9 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria integral-infty^31x^2+9,dx, que trata de calcular um limite de uma integral definida quando o limite inferior vai a -infty. Vamos usar primitiva conhecida e avaliar o limite.

Passo 2

Como o integrando 1x^2+9 é contínuo em todo intervalo (-infty,3], a única impropriedade vem do limite em -infty. Definimos
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I=limato-inftyintegrala^31x^2+9,dx
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Passo 3

Sabemos que uma primitiva de 1x^2+9 é
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F(x)=13arctanl(x3r)
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Passo 4

Logo,
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I=limato-inftyl[F(3)-F(a)r]=limato-inftyl(13arctan(1)-13arctan(tfraca3)r)
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Passo 5

Como limtto-inftyarctan(t)=-pi2 e arctan(1)=pi4, temos
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I=13l(pi4-l(-tfracpi2r)r)=13cdot3pi4=pi4
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Portanto a integral converge.

Resposta

Convergente, e seu valor é pi4.

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