A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante
. Após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias? Resp.:
: população de bactérias
e
bactérias.
Passo 1
O enunciado diz que a população de bactérias cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante
. Foram observados os seguintes dados:
- em
horas, a população é bactérias; - em
horas, a população é bactérias.
O que o problema pede é determinar o número inicial de bactérias(isto é, a população em ) e escrever a função que descreve a população ao longo do tempo.
Passo 2
Modelo matemático e sua solução (aulas rápidas):
- Crescimento proporcional significa que a taxa de variação da população é proporcional à própria população. Escrevemos isso como a equação diferencial
onde
é a população no tempo
e
é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento).
- Resolvendo por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados obtemos
onde
é constante de integração. Exponenciando,
onde definimos
como a população inicial (
em
). Aqui:
-
é o número de bactérias no início ( ); -
é a taxa de crescimento por unidade de tempo (aqui: por hora); -
é medido em horas.
Passo 3
Usar os dados para obter equações em
e
. Pelo modelo temos:
Passo 4
Eliminar
dividindo a segunda equação pela primeira:
Substituindo os valores conhecidos:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Logo
Passo 5
Calcular
numericamente. Podemos simplificar antes: como
, então
. Mas para
usamos o logaritmo:
Portanto a taxa de crescimento é aproximadamente
por hora.
Passo 6
Agora encontramos
. Usando
e sabendo que
(porque
), temos:
Então o número inicial de bactérias é
(número exato, sem arredondamento).
Passo 7
Escrever a função final
. Com
e
, o modelo é:
Interpretação rápida: em
temos
; a cada hora a população cresce multiplicativamente com taxa
.