A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante t. Após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias? Resp.: P(t) : população de bactérias P(t)=160,21 e^{0,305} t e P_{0}=160 bactérias.

Passo 1

O enunciado diz que a população de bactérias cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante t. Foram observados os seguintes dados:
  • em t=3 horas, a população é P(3)=400 bactérias;
  • em t=9 horas, a população é P(9)=2500 bactérias.
    O que o problema pede é determinar o número inicial de bactérias P_{0} (isto é, a população em t=0) e escrever a função P(t) que descreve a população ao longo do tempo.

Passo 2

Modelo matemático e sua solução (aulas rápidas):
  • Crescimento proporcional significa que a taxa de variação da população é proporcional à própria população. Escrevemos isso como a equação diferencial
\frac{dP}{dt} = kP,
onde P(t) é a população no tempo t e k é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento).
  • Resolvendo por separação de variáveis:
\frac{dP}{P} = k\,dt.
Integrando ambos os lados obtemos
\ln P = kt + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
P(t) = e^{kt+C} = P_{0}e^{kt},
onde definimos P_{0}=e^{C} como a população inicial ( P em t=0). Aqui:
  • P_{0} é o número de bactérias no início ( t=0);
  • k é a taxa de crescimento por unidade de tempo (aqui: por hora);
  • t é medido em horas.

Passo 3

Usar os dados para obter equações em P_{0} e k. Pelo modelo temos:
P(3)=P_{0}e^{3k}=400
P(9)=P_{0}e^{9k}=2500.

Passo 4

Eliminar P_{0} dividindo a segunda equação pela primeira:
\frac{P(9)}{P(3)}=\frac{P_{0}e^{9k}}{P_{0}e^{3k}}=e^{6k}.
Substituindo os valores conhecidos:
e^{6k}=\frac{2500}{400}=6,25.
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
6k=\ln(6,25).
Logo
k=\frac{\ln(6,25)}{6}.

Passo 5

Calcular k numericamente. Podemos simplificar antes: como e^{6k}=6,25, então e^{3k}=\sqrt{6,25}=2,5. Mas para k usamos o logaritmo:
k=\frac{\ln(6,25)}{6}\approx\frac{1,832581463}{6}\approx0,30543.
Portanto a taxa de crescimento é aproximadamente k\approx0,30543 por hora.

Passo 6

Agora encontramos P_{0}. Usando P(3)=P_{0}e^{3k}=400 e sabendo que e^{3k}=2,5 (porque e^{6k}=6,25), temos:
P_{0}=\frac{400}{e^{3k}}=\frac{400}{2,5}=160.
Então o número inicial de bactérias é P_{0}=160 (número exato, sem arredondamento).

Passo 7

Escrever a função final P(t). Com P_{0}=160 e k=\dfrac{\ln(6,25)}{6}\approx0,30543, o modelo é:
P(t)=160\,e^{kt}=160\,e^{\frac{\ln(6,25)}{6}\,t}\approx160\,e^{0,30543\,t}.
Interpretação rápida: em t=0 temos P(0)=160; a cada hora a população cresce multiplicativamente com taxa k\approx0,30543.

Resposta

P(t)=160\,e^{0,30543\,t}
P_{0}=160

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