Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial de 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto possuindo uma concentração de 1 grama de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
, em que
é contado a partir do início do processo. Resp.:
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está se aproximando de ficar vazio? Resp.:
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está se aproximando de ficar vazio? Resp.:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
- Volume inicial do tanque:
litros. - Quantidade inicial de sal no tanque:
gramas. - Taxa de entrada da solução:
litro por minuto, com concentração de grama de sal por litro. - Taxa de saída da solução (bem misturada):
litros por minuto. - Perguntas:
(a) Determinar a quantidade de sal no tanque em cada instante, contado a partir do início do processo.
(b) De qual valor a concentração se aproxima quando o tanque está se aproximando de ficar vazio? - Observação útil (informação derivada diretamente das taxas dadas): como a entrada é
L/min e a saída é L/min, o volume no tanque diminui a uma taxa líquida de L/min, portanto o tanque ficará vazio em minutos (volume em função do tempo será usado na resolução).
Passo 2
Definições de variáveis (claras e simples):
- Seja
a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante (minutos). - Seja
o volume de solução (em litros) no tanque no instante .
Com as taxas dadas, o volume varia linearmente:
porque começamos com
L e o volume diminui
L por minuto (entrada
L/min menos saída
L/min = -1 L/min). Note que isso vale até
(quando o tanque zera).
Passo 3
Montando a equação diferencial para
:
A taxa de variação da massa de sal é
A taxa de variação da massa de sal é
- Taxa de entrada de sal = (concentração de entrada)
(taxa de entrada de volume) - Taxa de saída de sal = (concentração no tanque)
(taxa de saída de volume)
Portanto a equação é
com condição inicial
Passo 4
Reconhecendo e preparando para resolver a EDO linear:
Colocando em forma padrão linear,
Colocando em forma padrão linear,
Isto é uma equação linear de primeira ordem do tipo
, onde
e
.
O método padrão é usar um fator integrante . Vou calcular esse fator integrador passo a passo.
O método padrão é usar um fator integrante
Passo 5
Cálculo do fator integrante
:
Fazendo a substituição
(então
), temos
Logo
Multiplicando a equação original por
obtemos
A esquerda é exatamente a derivada do produto:
Passo 6
Integração e expressão geral de
:
Integrando ambos os lados em função de ,
Integrando ambos os lados em função de
Calcule a integral usando
novamente:
Portanto
Multiplicando por
obtemos a forma explícita
onde
é constante a determinar pela condição inicial.
Passo 7
Determinação da constante pela condição inicial:
Usando ,
Usando
Logo
Portanto a solução completa é
(Se preferir em decimal,
.)
Passo 8
Concentração e seu comportamento quando o tanque fica vazio:
A concentração no tanque em instante é
A concentração no tanque em instante
Usando a expressão de
,
Tomando o limite quando o tanque se aproxima de esvaziar (
), o segundo termo tende a zero, então
Isto também faz sentido físico: à medida que o volume vai a zero, a concentração tende para a concentração da solução que entra, que é
g/L.
Resposta
(a)
.\n
(b)
(b)