Considere as equações:
(a)
(b)
Mostre que se
é solução da equação
e
é solução da equação
, então
é solução de
, para qualquer constante
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado apresenta duas equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(a) (homogênea)
(b) (não homogênea)
Queremos mostrar que, se satisfaz a homogênea e
satisfaz a não homogênea, então
(a)
(b)
Queremos mostrar que, se
é solução da não homogênea para qualquer constante
.
Passo 2
Defina
. Primeiro calculemos sua derivada:
Agora substituímos na equação não homogênea:
Passo 3
Agrupando termos, obtemos
Como
satisfaz a homogênea, tem-se
. E como
satisfaz a não homogênea, tem-se
. Logo
que é exatamente a equação (b).
Resposta
é solução da equação
para qualquer constante
.