Considere as equações:
(a) d yd t+p(t) y=0
(b) d yd t+p(t) y=g(t)
Mostre que se y1(t) é solução da equação (*) e y2(t) é solução da equação ( ^* *), então y(t)=c y1(t)+y2(t) é solução de ( ^* *), para qualquer constante c.

Passo 1

O enunciado apresenta duas equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(a) dydt+p(t),y=0 (homogênea)
(b) dydt+p(t),y=g(t) (não homogênea)
Queremos mostrar que, se ,y1(t) satisfaz a homogênea e ,y2(t) satisfaz a não homogênea, então
y(t)=c,y1(t)+y2(t)
é solução da não homogênea para qualquer constante c.

Passo 2

Defina y(t)=c,y1(t)+y2(t). Primeiro calculemos sua derivada:
y'(t) = c,y1'(t) + y2'(t)
Agora substituímos na equação não homogênea:
y'(t)+p(t),y(t) = c,y1'(t) + y2'(t) + p(t)l(c,y1(t)+y2(t)r)

Passo 3

Agrupando termos, obtemos
y'(t)+p(t),y(t) = cl(y1'(t)+p(t),y1(t)r) + l(y2'(t)+p(t),y2(t)r)
Como y1 satisfaz a homogênea, tem-se y1'+p,y1=0. E como y2 satisfaz a não homogênea, tem-se y2'+p,y2=g(t). Logo
y'(t)+p(t),y(t) = ccdot0 + g(t) = g(t),
que é exatamente a equação (b).

Resposta

y(t)=c,y1(t)+y2(t)
é solução da equação dydt+p(t),y=g(t) para qualquer constante c.

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