Considere o grupo do exercício 5. Quais dos seguintes subconjuntos de R são subgrupos desse grupo?
a) Z b) Q

Passo 1

O enunciado considera o grupo (R,+) de todos os números reais com a operação de adição. Queremos testar se os subconjuntos Z e Q são subgrupos de R. Para isso, vamos usar o seguinte critério de subgrupo:

Passo 2

Um subconjunto Hsubseteq G é subgrupo de G se, e somente se, satisfaz
0in H
e
forall,x,yin H, x - yin H

Passo 3

Verificação para Z:
  1. 0inZ pois 0 é um inteiro.
  2. Se m,ninZ, então m-n também é inteiro, logo m-ninZ.
    Portanto Z satisfaz o critério e é subgrupo de (R,+).

Passo 4

Verificação para Q:
  1. 0inQ pois 0 é um número racional ( 0=0/1).
  2. Se r,sinQ, então r-s é racional (diferença de racionais é racional), logo r-sinQ.
    Portanto Q satisfaz o critério e é subgrupo de (R,+).

Resposta

Ambos os subconjuntos são subgrupos de (R,+):
a) Z é subgrupo.
b) Q é subgrupo.

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