Considere o grupo do exercício 5. Quais dos seguintes subconjuntos de
são subgrupos desse grupo?
a)
b)
a)
Passo 1
O enunciado considera o grupo
de todos os números reais com a operação de adição. Queremos testar se os subconjuntos
e
são subgrupos de
. Para isso, vamos usar o seguinte critério de subgrupo:
Passo 2
Um subconjunto
é subgrupo de
se, e somente se, satisfaz
e
Passo 3
Verificação para
:
-
pois é um inteiro. - Se
, então também é inteiro, logo .
Portantosatisfaz o critério e é subgrupo de .
Passo 4
Verificação para
:
-
pois é um número racional ( ). - Se
, então é racional (diferença de racionais é racional), logo .
Portantosatisfaz o critério e é subgrupo de .
Resposta
Ambos os subconjuntos são subgrupos de
:
a) é subgrupo.
b) é subgrupo.
a)
b)