Exercício 1.1. Esboce os gráficos de:
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede que a gente esboce o gráfico de
Isso é conteúdo de função de duas variáveis e representação de superfícies em
. Pra resolver a gente vai precisar:
- descobrir onde a raiz existe (domínio),
- escrever a equação da superfície em termos de
, - reconhecer que tipo de superfície é e esboçar usando cortes (seções horizontais e verticais).
Passo 2
Primeiro passo de verdade: a raiz quadrada só existe se o radicando for ≥0, ou seja
Isso diz que o domínio de
é tudo que está fora (ou sobre) o círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Agora, pra ver qual superfície o gráfico forma, a gente chama
. Então
Essa equação
é a de um hiperboloide de uma folha, só que como
a gente fica só com a parte de
.
Passo 4
Para ficar mais claro no desenho, olha as seções:
- Planos horizontais
:
ou seja, círculos de raio
. Em
é o círculo de raio 1; conforme
aumenta, o raio cresce.
- Planos verticais, por exemplo
:
que é a “metade de uma hipérbole” a partir de
.
Passo 5
Juntando tudo, o esboço mostra uma “campânula” apoiada no círculo de raio 1 no plano
, abrindo cada vez mais conforme
cresce. É a parte superior (
) do hiperboloide de uma folha.
Resposta
O gráfico de
é a parte superior (
) do hiperboloide de uma folha definido por
com domínio
.