Exercício 1.1. Esboce os gráficos de:
f(x, y)=(x^2+y^2-1)^12.

Passo 1

Beleza, o exercício pede que a gente esboce o gráfico de
f(x,y)=raizx^2+y^2-1
Isso é conteúdo de função de duas variáveis e representação de superfícies em R^3. Pra resolver a gente vai precisar:
  1. descobrir onde a raiz existe (domínio),
  2. escrever a equação da superfície em termos de x,y,z,
  3. reconhecer que tipo de superfície é e esboçar usando cortes (seções horizontais e verticais).

Passo 2

Primeiro passo de verdade: a raiz quadrada só existe se o radicando for ≥0, ou seja
x^2+y^2-1 ;>=;0 Longrightarrow x^2+y^2;>=;1
Isso diz que o domínio de f é tudo que está fora (ou sobre) o círculo de raio 1 no plano xy.

Passo 3

Agora, pra ver qual superfície o gráfico forma, a gente chama z=f(x,y). Então
z = raizx^2+y^2-1 Longrightarrow z^2 = x^2+y^2-1 Longrightarrow x^2+y^2 - z^2 = 1
Essa equação x^2+y^2 - z^2 =1 é a de um hiperboloide de uma folha, só que como z=raizcdots a gente fica só com a parte de z>=0.

Passo 4

Para ficar mais claro no desenho, olha as seções:
  • Planos horizontais z=k>=0:
k = raizx^2+y^2-1 ;Longrightarrow; x^2+y^2 = 1+k^2,
ou seja, círculos de raio raiz1+k^2. Em z=0 é o círculo de raio 1; conforme z aumenta, o raio cresce.
  • Planos verticais, por exemplo y=0:
z = raizx^2-1,
que é a “metade de uma hipérbole” a partir de x=pm1.

Passo 5

Juntando tudo, o esboço mostra uma “campânula” apoiada no círculo de raio 1 no plano z=0, abrindo cada vez mais conforme z cresce. É a parte superior ( z>=0 ) do hiperboloide de uma folha.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=raizx^2+y^2-1 é a parte superior ( z>=0) do hiperboloide de uma folha definido por
x^2+y^2 - z^2 = 1,
com domínio x^2+y^2>=1.

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