considere o grupo
.
Mostre que o conjunto das permutações de
que deixam fixos o elemento 4 é um subgrupo de
.
Mostre que o conjunto das permutações de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um subgrupo de
. O conteúdo é teoria de subgrupos, e vamos usar o teste padrão: verificar que em
está a identidade de
, que
é fechado sob composição e que todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 2
Mostramos primeiro que a identidade
de
está em
. Como
por definição de identidade, segue que
. Agora, sejam
. Então
logo
. Assim,
contém a identidade e é fechado sob a operação de
.
Passo 3
Mostramos que inversos ficam em
. Se
então
. Aplicando
em ambos os lados,
o que implica
. Assim
.
Passo 4
Como
contém a identidade, é fechado sob produto e todo elemento tem inverso em
, concluímos pelo teste de subgrupo que
é subgrupo de
.
Resposta
O conjunto
é subgrupo de
.