considere o grupo S4.
Mostre que o conjunto das permutações de 1,2,3,4 que deixam fixos o elemento 4 é um subgrupo de S4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
H = sigmain S4mid sigma(4)=4
é um subgrupo de S4. O conteúdo é teoria de subgrupos, e vamos usar o teste padrão: verificar que em H está a identidade de S4, que H é fechado sob composição e que todo elemento de H tem inverso em H.

Passo 2

Mostramos primeiro que a identidade e de S4 está em H. Como e(4)=4 por definição de identidade, segue que ein H. Agora, sejam sigma,tauin H. Então
(sigmacirctau)(4)=sigmal(tau(4)r)=sigma(4)=4,
logo sigmacirctauin H. Assim, H contém a identidade e é fechado sob a operação de S4.

Passo 3

Mostramos que inversos ficam em H. Se sigmain H então sigma(4)=4. Aplicando sigma^-1 em ambos os lados,
4=sigma^-1l(sigma(4)r)=(sigma^-1circsigma)(4)=e(4)=4,
o que implica sigma^-1(4)=4. Assim sigma^-1in H.

Passo 4

Como H contém a identidade, é fechado sob produto e todo elemento tem inverso em H, concluímos pelo teste de subgrupo que H é subgrupo de S4.

Resposta

O conjunto sigmain S4midsigma(4)=4 é subgrupo de S4.

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