Questão 3.3)
Encontre a solução do problema de valor inicial (3 y^2-3) d y-(2 x-1) d x=0 e y(1)=0 e o intervalo máximo de validade da solução.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
(3y^2-3),dy ;-;(2x-1),dx ;=;0, y(1)=0
Isso é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar x e y e integrar ambos os lados.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
(3y^2-3),dy = (2x-1),dx
Agora integramos dos dois lados:
integral (3y^2-3),dy = integral (2x-1),dx
No lado esquerdo,
integral (3y^2-3),dy =3integral y^2,dy ;-;3integral 1,dy =3l(tfracy^33r)-3y =y^3-3y
No lado direito,
integral (2x-1),dx =integral 2x,dx-integral 1,dx =x^2-x + C,
onde C é constante de integração. Logo a solução implícita é
y^3-3y = x^2-x + C

Passo 3

Use a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 e y=0 em
y^3-3y = x^2-x + C
vem
0 - 0 = 1 - 1 + C Longrightarrow C=0
Portanto a solução implícita fica
boxedy^3-3y = x^2-x

Passo 4

Para achar o intervalo máximo de validade, usamos o Teorema de existência e unicidade: a solução implícita define y como função de x enquanto partial F/partial yneq0, onde
F(x,y)=y^3-3y - (x^2-x)
Calculamos
partial Fpartial y =3y^2-3 =3(y^2-1)
Esse derivado anula-se em y=pm1. Logo a solução é única e contínua desde x=1 até que y(x) alcance pm1.

Passo 5

Precisamos ver em quais valores de x nossa solução atinge y=pm1.
  1. Para y=1:
1^3-3cdot1 = x^2-x Longrightarrow -2 = x^2-x Longrightarrow x^2-x+2=0
não tem raiz real, então y nunca chega a +1.
2. Para y=-1:
(-1)^3-3(-1) = x^2-x Longrightarrow -1+3 = x^2-x Longrightarrow 2 = x^2-x Longrightarrow x^2-x-2=0
cuja solução é
x = 1pmraiz1+82 = 1pm32,
isto é x=-1 ou x=2. A partir de x=1, ao variar x para a esquerda chegamos a x=-1 quando y=-1, e para a direita chegamos a x=2 quando y=-1. Fora desse intervalo, partial F/partial y zera e a unicidade se perde.

Resposta

A solução implícita do problema de valor inicial é
boxedy^3-3y = x^2-x,
e o intervalo máximo de validade, contendo x=1, é
boxed(-1,,2)

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