Questão 3.3)
Encontre a solução do problema de valor inicial
e
e o intervalo máximo de validade da solução.
Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Isso é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
Agora integramos dos dois lados:
No lado esquerdo,
No lado direito,
onde
é constante de integração. Logo a solução implícita é
Passo 3
Use a condição inicial
. Substituindo
e
em
vem
Portanto a solução implícita fica
Passo 4
Para achar o intervalo máximo de validade, usamos o Teorema de existência e unicidade: a solução implícita define
como função de
enquanto
, onde
Calculamos
Esse derivado anula-se em
. Logo a solução é única e contínua desde
até que
alcance
.
Passo 5
Precisamos ver em quais valores de
nossa solução atinge
.
- Para
:
não tem raiz real, então
nunca chega a
.
2. Para :
2. Para
cuja solução é
isto é
ou
. A partir de
, ao variar
para a esquerda chegamos a
quando
, e para a direita chegamos a
quando
. Fora desse intervalo,
zera e a unicidade se perde.
Resposta
A solução implícita do problema de valor inicial é
e o intervalo máximo de validade, contendo
, é