onde em que e são constantes reais.
Mostre que se a equação inicial (.0.3) tem duas raízes reais (distintas), e , então e são soluções fundamentais de (.0.2) e portanto é a solução geral de (.0.2), para .
Passo 1
O enunciado apresenta a equação de Cauchy–Euler
e sua equação característica associada
Para as constantes reais e , supondo que as raízes e sejam reais e distintas, queremos mostrar que
são soluções fundamentais, e portanto a solução geral em é
Passo 2
Tentamos uma solução do tipo . Calculando as derivadas:
Substituindo em
vem
Como para , exige-se
que é exatamente
Passo 3
Pelas hipóteses, as raízes dessa equação são duas raízes reais e distintas e ; para cada uma delas temos
logo o coeficiente que multiplica na equação diferencial é zero. Assim, tanto quanto satisfazem a equação original.
Passo 4
Para garantir que e sejam soluções fundamentais (isto é, linearmente independentes), calculamos o wronskiano:
Como r1neq r2 e x>0, segue W(x)neq0, o que prova a independência linear.]
Passo 5
Tendo duas soluções linearly independentes y1 e y2, a solução geral da equação de segunda ordem é