Considere as equações diferenciais
x^2 y^prime prime+b x y^prime+c y=0
e
r^2+(b-1) r+c=0,
onde em que b e c são constantes reais.
Mostre que se a equação inicial (.0.3) tem duas raízes reais (distintas), r1 e r2, então y1(x)= x^r1 e y2(x)=x^r2 são soluções fundamentais de (.0.2) e portanto y(x)=c1 x^r1+c2 x^r2 é a solução geral de (.0.2), para x>0 .

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Cauchy–Euler
x^2y'' + b,x,y' + c,y = 0
e sua equação característica associada
r^2 + (b-1),r + c = 0
Para as constantes reais b e c, supondo que as raízes r1 e r2 sejam reais e distintas, queremos mostrar que
y1(x)=x^r1 e y2(x)=x^r2
são soluções fundamentais, e portanto a solução geral em x>0 é
y(x)=c1,x^r1+c2,x^r2

Passo 2

Tentamos uma solução do tipo y(x)=x^r. Calculando as derivadas:
y'=r,x^r-1, y''=r(r-1),x^r-2
Substituindo em
x^2y'' + b,x,y' + c,y = 0
vem
x^2l[r(r-1)x^r-2r] ;+; b,xl[r,x^r-1r];+;c,x^r = l[r(r-1)+b,r+cr],x^r=0
Como x^rneq0 para x>0, exige-se
r(r-1)+(b-1),r+c=0,
que é exatamente
r^2+(b-1),r+c=0

Passo 3

Pelas hipóteses, as raízes dessa equação são duas raízes reais e distintas r1 e r2; para cada uma delas temos
ri(ri-1)+(b-1),ri+c=0,
logo o coeficiente que multiplica x^ri na equação diferencial é zero. Assim, tanto y1(x)=x^r1 quanto y2(x)=x^r2 satisfazem a equação original.

Passo 4

Para garantir que y1 e y2 sejam soluções fundamentais (isto é, linearmente independentes), calculamos o wronskiano:
W(x)= y1 & y2[6pt] y1' & y2' = x^r1 & x^r2[3pt] r1x^r1-1 & r2x^r2-1 = (r2-r1),x^r1+r2-1
Como r1neq r2 e x>0, segue W(x)neq0, o que prova a independência linear.]

Passo 5

Tendo duas soluções linearly independentes y1 e y2, a solução geral da equação de segunda ordem é
y(x)=c1,y1(x)+c2,y2(x) =c1,x^r1+c2,x^r2,
válida para x>0.

Resposta

y(x)=c1,x^r1+c2,x^r2, x>0,
onde r1 e r2 são as raízes reais e distintas de
r^2+(b-1),r+c=0

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