Problema 3.6. Mostre com um exemplo que em Z não vale a propriedade:
Se a<b, então a times c<b times c, qualquer que seja c.
Nem a sua recíproca:
Se a times c<b times c, então a<b, qualquer que seja c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por meio de contraexemplos em Z, que a multiplicação não preserva desigualdades para todo c, nem na direção direta (“se a<b então a c < b c para qualquer c”) nem na recíproca (“se a c < b c então a<b para qualquer c”). O conteúdo usado aqui é a propriedade de que multiplicar por c<0 inverte o sinal da desigualdade.

Passo 2

Contraexemplo à implicação direta.
Escolha
a = -3, b = 2, c = -1
Verificamos que
-3 < 2,
mas
atimes c = -3 times (-1) = 3, btimes c = 2 times (-1) = -2,
e claramente
3 > -2
Logo, embora a<b, não vale a c < b c.

Passo 3

Contraexemplo à implicação recíproca.
Escolha
a = 3, b = 1, c = -1
Aqui
a times c = 3 times (-1) = -3, b times c = 1 times (-1) = -1,
logo
-3 < -1,
mas ao mesmo tempo
3 > 1,
ou seja, a c < b c ocorre mesmo com a>b.

Resposta

Não vale em Z nem
“se a<b então a c<b c para todo c” (basta a=-3, b=2, c=-1), nem
“se a c<b c então a<b para todo c” (basta a=3, b=1, c=-1).

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