Problema 3.6. Mostre com um exemplo que em
não vale a propriedade:
Se
, então
, qualquer que seja
.
Nem a sua recíproca:
Se
, então
, qualquer que seja
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por meio de contraexemplos em
, que a multiplicação não preserva desigualdades para todo
, nem na direção direta (“se
então
para qualquer
”) nem na recíproca (“se
então
para qualquer
”). O conteúdo usado aqui é a propriedade de que multiplicar por
inverte o sinal da desigualdade.
Passo 2
Contraexemplo à implicação direta.
Escolha
Escolha
Verificamos que
mas
e claramente
Logo, embora
, não vale
.
Passo 3
Contraexemplo à implicação recíproca.
Escolha
Escolha
Aqui
logo
mas ao mesmo tempo
ou seja,
ocorre mesmo com
.
Resposta
Não vale em
nem
“se então
para todo
” (basta
,
,
), nem
“se então
para todo
” (basta
,
,
).
“se
“se