Considere as equações de dois planos
r 2 x+2 y-z+4=0 x-2 y-2 z-1=0
Estude a posição relativa entre eles. Caso se interceptem, dê a equação da reta, caso sejam paralelos, dê a distância entre eles (a distância entre dois planos paralelos é dada pela distância entre qualquer ponto de um dos planos e o outro plano).

Passo 1

Temos os dois planos abaixo:
P1: 2x + 2y - z + 4 = 0
P2: x - 2y - 2z - 1 = 0
Este exercício é de Geometria Analítica (posição relativa de planos). Para resolver vamos usar os vetores normais para ver se são paralelos e, caso não sejam, obter a reta de interseção resolvendo o sistema.

Passo 2

O vetor normal de cada plano é dado pelos coeficientes de x, y e z. Assim:
n1 = (2,2,-1) para P1 e n2 = (1,-2,-2) para P2. Se fossem paralelos existiria lambda tal que n2=lambda n1, mas ao comparar coordenadas vemos que isso não ocorre. Logo os planos não são paralelos e se interceptam numa reta.

Passo 3

Para achar a reta de interseção usamos a teoria: a interseção de dois planos não paralelos é uma reta. A gente escolhe uma variável livre como parâmetro. Seja z = t. Substituindo em cada plano obtemos um sistema em x e y.

Passo 4

No primeiro plano:
2x + 2y - t + 4 = 0 implies x + y = t - 42
No segundo plano:
x - 2y - 2t - 1 = 0 implies x - 2y = 2t + 1
Resolvendo esse sistema clássico de duas equações e duas incógnitas, obtemos:
y = -t + 22, x = t - 1

Passo 5

Então temos as coordenadas paramétricas:
x = t - 1,
y = -t + 22,
z = t
Podemos reescrever em forma vetorial e usar um vetor diretor inteiro. Note que para t=0 um ponto da reta é (-1,-1,0) e derivando em relação a t obtemos direção (1,-tfrac12,1), que escalonamos para (2,-1,2).

Resposta

r(s)=(-1,-1,0)+s,(2,-1,2)

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