Considere as equações de dois planos
Estude a posição relativa entre eles. Caso se interceptem, dê a equação da reta, caso sejam paralelos, dê a distância entre eles (a distância entre dois planos paralelos é dada pela distância entre qualquer ponto de um dos planos e o outro plano).
Passo 1
Temos os dois planos abaixo:
Este exercício é de Geometria Analítica (posição relativa de planos). Para resolver vamos usar os vetores normais para ver se são paralelos e, caso não sejam, obter a reta de interseção resolvendo o sistema.
Passo 2
O vetor normal de cada plano é dado pelos coeficientes de x, y e z. Assim:
para
e
para
. Se fossem paralelos existiria
tal que
, mas ao comparar coordenadas vemos que isso não ocorre. Logo os planos não são paralelos e se interceptam numa reta.
Passo 3
Para achar a reta de interseção usamos a teoria: a interseção de dois planos não paralelos é uma reta. A gente escolhe uma variável livre como parâmetro. Seja
. Substituindo em cada plano obtemos um sistema em x e y.
Passo 4
No primeiro plano:
No segundo plano:
Resolvendo esse sistema clássico de duas equações e duas incógnitas, obtemos:
Passo 5
Então temos as coordenadas paramétricas:
Podemos reescrever em forma vetorial e usar um vetor diretor inteiro. Note que para
um ponto da reta é
e derivando em relação a
obtemos direção
, que escalonamos para
.