Vamos deduzir uma expressão para a distância entre duas retas reversas r e s, que passam por pontos R e S respectivamente e possuem vetores diretores vr e vs.
a. Considere dois planos paralelos entre si, um que contém a reta r outro contém a reta s. Dê um vetor normal n a esses planos com os dados disponíveis no enunciado.
b. Qual a expressão para a distância entre esses dois planos em termos de n e dos pontos Re S ?
c. Explique por que a distância entre r e s é igual à distância entre os planos e escreva a expressão final em termos de R, S, vr e vs.
d. Determine a distância entre as retas
x-13=y+25=z+613 e x-39=y-25=z-64

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas reversas r e s, passando pelos pontos R e S e com vetores diretores vec vr e vec vs. Vamos usar geometria vetorial: produto vetorial para achar normal a planos e fórmula de distância entre planos paralelos.

Passo 2

Para o item (a), queremos dois planos paralelos que contenham r e s. Um vetor normal comum a esses planos é dado pelo produto vetorial das direções. Assim,
vec n ,=, vec vr times vec vs

Passo 3

Para o item (b), a distância entre dois planos paralelos com normal vec n e que passam por R e S é dada por
distplanos = l|vec n cdot (RS)r||vec n|
No item ©, como cada reta está em um desses planos, a distância entre as retas é exatamente essa distância entre planos. Logo, a expressão final é
dist(r,s)= l| (,S-R,) cdot (vec vr times vec vs)r|l|vec vr times vec vsr|

Passo 4

No item (d), identificamos os dados:
R=(1,-2,-6), S=(3,2,6),
vec vr=(3,5,13), vec vs=(9,5,4).
Calculamos o produto vetorial:
vec vr times vec vs = i & j & k 3 & 5 & 13 9 & 5 & 4 = (-45,,105,,-30)
O vetor RS=S-R=(2,4,12) e seu produto escalar com vec n é
vec n cdot RS = (-45)cdot2 + 105cdot4 + (-30)cdot12 = -90 +420 -360 = -30

Passo 5

O módulo de vec n é |vec n|=raiz(-45)^2+105^2+(-30)^2=15raiz62. Portanto
dist(r,s)= |-30|15raiz62=2raiz62

Resposta

2raiz62

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