Use integração tripla para mostrar que o volume de um cilindro circular reto, de raio da base
e altura
, é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa usar integração tripla para mostrar que o volume de um cilindro circular reto com raio da base
e altura
é igual a
. Basicamente, vamos calcular o espaço que esse cilindro ocupa usando matemática!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é integração tripla. É uma ferramenta do cálculo que permite calcular o volume de um objeto no espaço tridimensional. A gente vai dividir o cilindro em pequenas “caixinhas” e somar todas elas para achar o volume total.
Passo 3
Como nosso cilindro é circular e reto, fica mais fácil usar as coordenadas cilíndricas. Nessa forma de coordenadas, a posição de um ponto é dada por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo central do cilindro, -
é o ângulo em torno do eixo, -
é a altura.
Isso simplifica nossos cálculos porque o cilindro tem simetria circular.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
-
varia de até o raio do cilindro, que é . -
varia de até (uma volta completa). -
varia de até a altura do cilindro, que é .
Passo 5
Na integração tripla em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por
. Isso leva em conta a “espessura” das caixinhas que vamos somar.
Passo 6
Agora, vamos montar a integral tripla para o volume
:
Passo 7
Vamos resolver a integral começando por
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Passo 9
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
Portanto, o volume do cilindro é
.