Use integração tripla para mostrar que o volume de um cilindro circular reto, de raio da base a e altura h, é pi a^2 h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa usar integração tripla para mostrar que o volume de um cilindro circular reto com raio da base a e altura h é igual a pi a^2 h. Basicamente, vamos calcular o espaço que esse cilindro ocupa usando matemática!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é integração tripla. É uma ferramenta do cálculo que permite calcular o volume de um objeto no espaço tridimensional. A gente vai dividir o cilindro em pequenas “caixinhas” e somar todas elas para achar o volume total.

Passo 3

Como nosso cilindro é circular e reto, fica mais fácil usar as coordenadas cilíndricas. Nessa forma de coordenadas, a posição de um ponto é dada por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto ao eixo central do cilindro,
  • theta é o ângulo em torno do eixo,
  • z é a altura.
Isso simplifica nossos cálculos porque o cilindro tem simetria circular.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
  • r varia de 0 até o raio do cilindro, que é a.
  • theta varia de 0 até 2pi (uma volta completa).
  • z varia de 0 até a altura do cilindro, que é h.

Passo 5

Na integração tripla em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por r, dr, dtheta, dz. Isso leva em conta a “espessura” das caixinhas que vamos somar.

Passo 6

Agora, vamos montar a integral tripla para o volume V:
V = integral0^h integral0^2pi integral0^a r, dr, dtheta, dz

Passo 7

Vamos resolver a integral começando por r:
integral0^a r, dr = [12r^2]0^a = 12a^2

Passo 8

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 12a^2, dtheta = 12a^2 cdot 2pi = pi a^2

Passo 9

Por fim, integramos em relação a z:
integral0^h pi a^2, dz = pi a^2 cdot h = pi a^2 h

Resposta

Portanto, o volume do cilindro é V = pi a^2 h.

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