Considere que o escoamento de água em regime permanente em uma certa tubulação circular é do tipo plenamente turbulento (o duto é hidraulicamente rugoso). Qual seria o acréscimo percentual na perda de carga unitária quando aumentamos a vazão em 10 \% ? Esse cálculo imediato poderia também ser realizado se o escoamento fosse do tipo turbulento hidraulicamente liso? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de perda de carga unitária em escoamento permanente de água em um duto circular no regime plenamente turbulento hidraulicamente rugoso. Vamos usar a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga unitária
h_f = f\,\frac{V^2}{2g}\,\frac{1}{D}
onde f é o fator de atrito, V a velocidade média, g a aceleração da gravidade e D o diâmetro interno do duto. No regime plenamente turbulento rugoso, f é praticamente constante (independe de Reynolds).

Passo 2

Com f constante, temos
h_f \propto V^2.
Se aumentamos a vazão volumétrica Q em 10\%, então a velocidade V também aumenta em 10\% (pois Q=V\,A e a área A é fixa). Logo V\to1{,}1\,V e
h_f' = h_f\,(1{,}1)^2 = h_f\cdot1{,}21.
O acréscimo percentual em h_f é
\frac{h_f' - h_f}{h_f}\times100\% = (1{,}21 - 1)\times100\% = 21\%.

Passo 3

No regime turbulento hidraulicamente liso, o fator de atrito f depende de Reynolds. Um caso típico (Blasius) é
f = 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-1/4},
e como \mathrm{Re}\propto V, obtemos
h_f \propto f\,V^2 \propto V^{-1/4}\,V^2 = V^{7/4}.
Isso significa que a perda de carga não escala mais como V^2, mas como V^{1{,}75}, e o aumento de 10\% em V daria
(1{,}1)^{1{,}75}-1\approx18{,}2\%\neq21\%.
Portanto, não podemos usar imediatamente o mesmo cálculo quadrático quando o escoamento é hidraulicamente liso, pois aí f não é constante e muda com a vazão.

Resposta

O acréscimo percentual seria de 21 % no regime plenamente turbulento rugoso. Não dá para usar o mesmo “ V^2” imediatamente no regime turbulento liso, porque ali o fator de atrito varia com a velocidade e muda o expoente da lei de escala.

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