Resolva / responda aos seguintes exercícios propostos. Apresente as etapas da resolução.
(Valor =\mathbf{2 , 0} ) O ponto mais profundo conhecido nos oceanos é 11034 metros no Pacífico. Nessa profundidade o peso específico da água do mar é aproximadamente de 10520 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}. Na superfície, \gamma= 10050 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}. Calcule a pressão relativa (efetiva) nessa profundidade (no fundo do mar), considerando a variação linear do peso específico. Qual a diferença percentual em relação ao cálculo sem considerar a variação do peso específico com a profundidade.

Passo 1

O enunciado pede a pressão relativa no fundo do mar a h=11034 m, considerando que o peso específico da água varia linearmente de \gamma_0=10050;N/ m^{3} (superfície) até \gamma_h=10520;N/ m^{3} (fundo). Em seguida, queremos a diferença percentual em relação ao caso em que se toma \gamma constante igual a \gamma_0.

Passo 2

Modelamos a variação com a profundidade por \gamma(z)=\gamma_0+(\gamma_h-\gamma_0)\,\frac{z}{h}.
A pressão relativa a h é
p=\int_{0}^{h}\gamma(z)\,\mathrm{d}z =\int_{0}^{h}\Bigl(\gamma_0+\frac{\gamma_h-\gamma_0}{h}\,z\Bigr)\mathrm{d}z =\gamma_0\,h+\frac{\gamma_h-\gamma_0}{2}\,h =h\,\frac{\gamma_0+\gamma_h}{2}\,.

Passo 3

Substituindo \gamma_0=10050;N/ m^{3}, \gamma_h=10520;N/ m^{3} e h=11034;m,
p_{\text{var}} =11034\;\frac{10050+10520}{2} =11034\times10285 \approx1,13485\times10^{8}\;\mathrm{Pa}\,.

Passo 4

No caso sem variação de peso específico, toma-se \gamma=\gamma_0 constante, então
p_{\text{const}} =\gamma_0\,h =10050\times11034 \approx1,10892\times10^{8}\;\mathrm{Pa}\,.

Passo 5

A diferença percentual é
\frac{p_{\text{var}}-p_{\text{const}}}{p_{\text{const}}}\times100\% =\frac{1,13485-1,10892}{1,10892}\times100\% \approx2,34\%\,.

Resposta

Pressão relativa com variação de \gamma: p_{\text{var}}\approx1,1349\times10^{8};Pa.
Pressão sem variação de \gamma: p_{\text{const}}\approx1,1089\times10^{8};Pa.
Diferença percentual: aproximadamente 2,34\%.

Exercícios relacionados