5 Trace a resposta x(t) de um sistema subamortecido com \omega_{n}=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \zeta=0,1 e v_{0}=0 para os seguintes deslocamentos iniciais: x_{0}=10 \mathrm{~mm} e x_{0}=100 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede a resposta livre x(t) de um sistema de segunda ordem subamortecido sem forçamento, com frequência natural \omega_{n}=2,rad/s, coeficiente de amortecimento \zeta=0,1 e velocidade inicial v_{0}=0. Vamos usar a solução padrão para um sistema subamortecido:
x(t)=e^{-\zeta\omega_{n}t}\bigl(C\cos(\omega_{d}t)+D\sin(\omega_{d}t)\bigr)
onde \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.

Passo 2

Primeiro determinamos \omega_{d}:
\omega_{d} =\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}} =2\sqrt{1-0{,}1^{2}} =2\sqrt{0{,}99} \approx1{,}99\text{ rad/s}.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais x(0)=x_{0} e \dot x(0)=v_{0}=0.
Para t=0:
x(0)=C=x_{0}.
Derivando x(t) e avaliando em t=0:
\dot x(t) =e^{-\zeta\omega_{n}t}\bigl[-\zeta\omega_{n}(C\cos\omega_{d}t+D\sin\omega_{d}t) -C\,\omega_{d}\sin\omega_{d}t+D\,\omega_{d}\cos\omega_{d}t\bigr],
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\dot x(0) =-\zeta\omega_{n}\,C+D\,\omega_{d}=0 \quad\Longrightarrow\quad D=\frac{\zeta\omega_{n}\,C}{\omega_{d}} =\frac{\zeta\omega_{n}\,x_{0}}{\omega_{d}}.

Passo 4

Substituindo C e D na solução geral, obtemos
x(t) =x_{0}\,e^{-\zeta\omega_{n}t}\Bigl[\cos(\omega_{d}t) +\frac{\zeta\omega_{n}}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t)\Bigr].
Para \zeta=0{,}1 e \omega_{n}=2 resulta \zeta\omega_{n}=0{,}2 e
\zeta\omega_{n}/\omega_{d}=0{,}2/1{,}99\approx0{,}1005.

Passo 5

Escrevemos agora as duas respostas pedidas, em milímetros ( \mathrm{mm}):
Para x_{0}=10,mm:
x_{10}(t) =10\,e^{-0,2\,t}\Bigl[\cos(1,99\,t)+0,1005\;\sin(1,99\,t)\Bigr]\quad(\mathrm{mm}).
Para x_{0}=100,mm:
x_{100}(t) =100\,e^{-0,2\,t}\Bigl[\cos(1,99\,t)+0,1005\;\sin(1,99\,t)\Bigr]\quad(\mathrm{mm}).

Resposta

x_{10}(t)=10\,e^{-0{,}2\,t}\Bigl[\cos(1{,}99\,t)+0{,}1005\,\sin(1{,}99\,t)\Bigr]\quad(\mathrm{mm}),
x_{100}(t)=100\,e^{-0{,}2\,t}\Bigl[\cos(1{,}99\,t)+0{,}1005\,\sin(1{,}99\,t)\Bigr]\quad(\mathrm{mm}).

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