Considere o escoamento de um fluido incompressivel de massa específica ( rho ". densidade relativa " d “, viscosidade " mu " através de uma seção longa e horizontal de um tubo cilíndrico com diämetro “(D)” “V” é a velocidade média na seção transversal do tubo, que, por conservação de massa, permanece constante em todo o tubo. Para um tubo muito longo, o escoamento finalmente toma-se completamente desenvolvido, o que significa que o perfil de velocidade também permanece uniforme ao longo do tubo. Devido às forças de atrito entre o fluido e a parede do tubo, existe uma tensão de cisalhamento " tau " na parede interna do tubo. A tensão de cisalhamento também é constante na região totalmente desenvolvida do tubo. Considere que exista uma altura média constante para a rugosidade (8”) ao longo da parede interna do tubo. Determine um conjunto de grupos adimensionais que possam ser usados para correlacionar as variáveis do problema, tendo em vista que tau é uma variável dependente de todas as outras variáveis mencionadas no problema.

Passo 1

Resumindo: temos um escoamento incompressível em tubo cilíndrico de diâmetro D, com massa específica rho, densidade relativa d, viscosidade mu, velocidade média V, rugosidade média varepsilon e tensão de cisalhamento na parede tau. Queremos grupos adimensionais que relacionem
tau = f(rho,;d,;mu,;V,;D,;varepsilon),
O método será o Teorema de Buckingham para análise dimensional.

Passo 2

Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais (M massa, L comprimento, T tempo):
tau com [tau]=M,L^-1,T^-2
rho com [rho]=M,L^-3,T^0
mu com [mu]=M,L^-1,T^-1
V com [V]=L,T^-1
D e varepsilon com [D]=[varepsilon]=L
d é adimensional.
Número de variáveis n=7 (contando d), número de dimensões básicas m=3. Logo há n-m=4 grupos adimensionais independentes.

Passo 3

Escolhemos como variáveis repetidas rho, V e D (todas aparecem em todos os grupos, e são independentes entre si).
Formamos os quatro Pi:
Para tau, exigimos Pi1 adimensional. A combinação clássica é
Pi1 = taurho,V^2,
Para mu, obtemos o número de Reynolds:
Pi2 = rho,V,Dmuequiv Re,
Para a rugosidade, surge a rugosidade relativa:
Pi3 = varepsilonD,
E finalmente d já é adimensional:
Pi4 = d,

Passo 4

Interpretando:
Pi1 é proporcional ao coeficiente de atrito de parede (friction coefficient).
Pi2 é o número de Reynolds.
Pi3 é a rugosidade relativa do tubo.
Pi4 é a densidade relativa do fluido.

Resposta

Os grupos adimensionais podem ser escolhidos como
Pi1 = taurho,V^2, Pi2 = Re = rho,V,Dmu, Pi3 = varepsilonD, Pi4 = d
Logo a correlação geral fica
taurho,V^2 = Phil(Re,,tfracvarepsilonD,,dr)

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