Considere o escoamento laminar num tubo horizontal de seção circular, cujo perfil de velocidades é dado por v(r)=v_{\text {máx }}\left(1-r^{2} / R^{2}\right)á, onde R é o raio do tubo, e r é a posição radial medida em relação ao eixo de simetria do tubo. Calcular: (a) o fator de correção da quantidade de movimento, e (b) o termo corrigido da quantidade de movimento na expressão da força exercida pelo escoamento sobre a parede do tubo. Supor regime permanente e fluido incompressível.
\mathrm{R}: (a)4 / 3 , (b)1,05 \rho v_{max}{ }^{2} \cdot R^{2} \cdot \mathbf{i}$

Passo 1

No enunciado temos escoamento laminar em tubo de raio R com perfil parabólico
v(r)=v_{\text{máx}}\Bigl(1-\frac{r^2}{R^2}\Bigr).á
Queremos
(a) o fator de correção de quantidade de movimento
\alpha = \dfrac{\displaystyle\int_A v^2\,dA}{A\,U^2},
onde U é a velocidade média, e
(b) o termo corrigido de quantidade de movimento
\displaystyle\int_A \rho\,v^2\,dA,
que aparece no balanço de momento sobre a parede.

Passo 2

Calcular vazão Q e velocidade média U. Em coordenadas cilíndricas:
Q=\int_A v\,dA =2\pi\int_0^R v(r)\,r\,dr =2\pi\,v_{\text{máx}} \int_0^R\Bigl(1-\tfrac{r^2}{R^2}\Bigr)r\,dr.á
Fazendo
\int_0^R\Bigl(r-\tfrac{r^3}{R^2}\Bigr)dr =\frac{R^2}{2}-\frac{R^2}{4} =\frac{R^2}{4},
vem
Q=2\pi\,v_{\text{máx}}\,\frac{R^2}{4} =\frac{\pi R^2\,v_{\text{máx}}}{2}.áá
Como A=\pi R^2, a velocidade média é
U=\frac{Q}{A}=\frac{v_{\text{máx}}}{2}.á

Passo 3

Calcular \alpha pela definição
\alpha =\frac{1}{A\,U^2}\int_A v^2\,dA =\frac{2\pi}{\pi R^2\,U^2}\, v_{\text{máx}}^2\int_0^R\Bigl(1-\tfrac{r^2}{R^2}\Bigr)^2r\,dr.á
Expandindo e integrando
\int_0^R\Bigl(1-2\tfrac{r^2}{R^2}+\tfrac{r^4}{R^4}\Bigr)r\,dr =\frac{R^2}{2}-\frac{R^2}{2}+\frac{R^2}{6} =\frac{R^2}{6},
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\int_A v^2\,dA =2\pi\,v_{\text{máx}}^2\,\frac{R^2}{6} =\frac{\pi R^2\,v_{\text{máx}}^2}{3}, \quad U^2=\frac{v_{\text{máx}}^2}{4}.ááá
Portanto
\alpha =\frac{\pi R^2\,v_{\text{máx}}^2/3}{\pi R^2\,(v_{\text{máx}}^2/4)} =\frac{1/3}{1/4} =\frac{4}{3}.áá

Passo 4

Calcular o termo corrigido de quantidade de movimento
\int_A \rho\,v^2\,dA =\rho\,\frac{\pi R^2\,v_{\text{máx}}^2}{3}.á
Como esse fluxo de momento atua na direção do escoamento, escrevemos em vetor unitário \mathbf{i}:
\int_A \rho\,v^2\,dA\,\mathbf{i} =\frac{\pi}{3}\,\rho\,v_{\text{máx}}^2\,R^2\,\mathbf{i} \approx 1,05\,\rho\,v_{\text{máx}}^2\,R^2\,\mathbf{i}.áá

Resposta

(a) \displaystyle \alpha = \tfrac{4}{3}.
(b) \displaystyle \int_A \rho\,v^2\,dA\,\mathbf{i} = \frac{\pi}{3}\,\rho\,v_{\text{máx}}^2\,R^2\,\mathbf{i} \approx 1,05\,\rho\,v_{\text{máx}}^2\,R^2\,\mathbf{i}.áá

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