Deduza a equação geral do movimento nas direções
e z a partir de um balanço diferencial em coordenadas cartesianas.
a) Simplifique a equação geral para o caso de fluido newtoniano e incompressível.
b) Simplifique a equação geral para o caso de fluido newtoniano, incompressível e com viscosidade constante.
4) Explique o significado físico de cada termo da equação geral do momento.
a) Simplifique a equação geral para o caso de fluido newtoniano e incompressível.
b) Simplifique a equação geral para o caso de fluido newtoniano, incompressível e com viscosidade constante.
4) Explique o significado físico de cada termo da equação geral do momento.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir, em coordenadas cartesianas, a equação geral do movimento nas direções
,
e
a partir do balanço diferencial de momento (segunda lei de Newton para um elemento fluido). Vamos precisar de
. Aplicar o balanço de forças (superficiais e de corpo) num cubo diferencial
.
. Escrever o resultado em forma de derivada material (aceleração local
convectiva).
. Usar a definição geral do tensor de tensões
.
. Em (a) impor o fluido newtoniano e incompressível (
e relação linear tensão–deformação).
. Em (b) ainda assumir viscosidade constante (
).
. Por fim, interpretar fisicamente cada termo da equação obtida.
Passo 2
Considere um volume de controle diferencial
. Na direção
, a soma de forças de superfície por unidade de volume é
e a força de corpo (por exemplo gravidade) é
. A aceleração na direção
é a derivada material
Logo, o balanço diferencial em
dá
Analogamente, para
e
:
Essas três equações constituem a forma geral em componentes do balanço de momento.
Passo 3
(a) Para fluido newtoniano e incompressível, as tensões são
e vale
. Substituindo em cada componente e somando, obtemos em forma vetorial
Passo 4
(b) Se a viscosidade é constante (
const), então
A equação de Navier–Stokes final fica
Em componentes:
e análogos para
e
.
Passo 5
Significado físico de cada termo em
Resposta
Equação geral (Navier–Stokes) para fluido newtoniano, incompressível e viscoso constante: