Deduza a equação geral do movimento nas direções x, y e z a partir de um balanço diferencial em coordenadas cartesianas.
a) Simplifique a equação geral para o caso de fluido newtoniano e incompressível.
b) Simplifique a equação geral para o caso de fluido newtoniano, incompressível e com viscosidade constante.
4) Explique o significado físico de cada termo da equação geral do momento.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir, em coordenadas cartesianas, a equação geral do movimento nas direções x, y e z a partir do balanço diferencial de momento (segunda lei de Newton para um elemento fluido). Vamos precisar de
1. Aplicar o balanço de forças (superficiais e de corpo) num cubo diferencial dx\,dy\,dz.
2. Escrever o resultado em forma de derivada material (aceleração local + convectiva).
3. Usar a definição geral do tensor de tensões \tau_{ij}.
4. Em (a) impor o fluido newtoniano e incompressível ( \nabla\cdot\mathbf{v}=0 e relação linear tensão–deformação).
5. Em (b) ainda assumir viscosidade constante ( \mu=\text{const}).
6. Por fim, interpretar fisicamente cada termo da equação obtida.

Passo 2

Considere um volume de controle diferencial dx\,dy\,dz. Na direção x, a soma de forças de superfície por unidade de volume é
\frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z},
e a força de corpo (por exemplo gravidade) é \rho\,g_x. A aceleração na direção x é a derivada material
\frac{Du}{Dt} =\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z}.
Logo, o balanço diferencial em x
\rho\frac{Du}{Dt} =\frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} +\rho\,g_x.
Analogamente, para y e z:
\rho\frac{Dv}{Dt} =\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{yy}}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z} +\rho\,g_y,
\rho\frac{Dw}{Dt} =\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z} +\rho\,g_z.
Essas três equações constituem a forma geral em componentes do balanço de momento.

Passo 3

(a) Para fluido newtoniano e incompressível, as tensões são
\tau_{ij} = -p\,\delta_{ij} +2\mu\,D_{ij}, \quad D_{ij}=\tfrac12\Bigl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Bigr),
e vale \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Substituindo em cada componente e somando, obtemos em forma vetorial
\rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt} =-\nabla p +\nabla\cdot\bigl(2\mu\,\mathbf{D}\bigr)+\rho\,\mathbf{g}.

Passo 4

(b) Se a viscosidade é constante ( \mu= const), então
\nabla\cdot\bigl(2\mu\,\mathbf{D}\bigr) =\mu\,\nabla^2\mathbf{v}.
A equação de Navier–Stokes final fica
\rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt} =-\nabla p +\mu\,\nabla^2\mathbf{v}+\rho\,\mathbf{g}.
Em componentes:
\rho\Bigl(\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z}\Bigr) =-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\Bigr) +\rho\,g_x,
e análogos para v e w.

Passo 5

Significado físico de cada termo em
\rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt} =-\nabla p +\mu\,\nabla^2\mathbf{v}+\rho\,\mathbf{g}:
1. \rho\,\partial\mathbf{v}/\partial t: aceleração local (variação temporal da velocidade).
2. \rho(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}: aceleração convectiva (transporte de momento pelo próprio fluxo).
3. -\nabla p: força de pressão (grade de pressões no fluido).
4. \mu\,\nabla^2\mathbf{v}: difusão viscosa (efeito de atrito interno e dissipação).
5. \rho\,\mathbf{g}: força de corpo (gravidade ou outras forças atuando em todo o volume).

Resposta

Equação geral (Navier–Stokes) para fluido newtoniano, incompressível e viscoso constante:
\rho\Bigl(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} +(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\Bigr) =-\nabla p +\mu\,\nabla^2\mathbf{v} +\rho\,\mathbf{g}.

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