Considere um escoamento permanente e bidimensional de um fluido ideal (não viscoso) em torno da face frontal de um pilar de ponte. Nessa região, o fluido se aproxima da estrutura, encontra um ponto de estagnação e então é desviado lateralmente.
O campo de velocidade dado ( u=-2 x y, v=y^{2}-x^{2}, w=0 ) representa um tipo específico de escoamento potencial (incompressível e irrotacional). Considere que este escoamento ocorre em água, com densidade \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, e que a pressão atmosférica é p_{\text {atm }}=101325 \mathrm{~Pa}. Com base nessas informações, responda as alternativas a seguir:
(a) Verifique se esse escoamento satisfaz a conservação da massa? Mostre.
(b) Encontre o campo de pressão p(x, y) se a pressão no ponto ( x=0, y=0 ) é igual a \mathrm{p}_{\text {atm }}.
(c) Utilizando a ferramenta computacional (como o Excel), crie uma grade de pontos (\mathrm{x}, \mathrm{y}) no intervalo de [-5,5]. Para cada ponto, calcule u(x, y), v(x, y), \boldsymbol{V}(x, y) e p(x, y). Gere um gráfico de contorno mostrando as magnitudes da velocidade e da pressão.
(d) Com base nas visualizações, onde ocorre o ponto de estagnação e qual sua importância física? Quais são os pontos de pressão e velocidade mínimas? O campo de pressão obtido está de acordo com o Teorema de Bernoulli? Interprete. Como o escoamento se comporta ao contornar as “paredes” do pilar?

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento permanente, bidimensional, incompressível e irrotacional em torno da face frontal de um pilar, com campo de velocidade dado por
u = -2\,x\,y,\quad v = y^{2}-x^{2},\quad w=0
e pede: (a) verificar conservação da massa, (b) encontrar o campo de pressão sabendo que p(0,0)=p_{\text{atm}}, (c) gerar grade (x,y)\in[-5,5] e calcular campos, (d) interpretar pontos de estagnação, máximos e mínimos e verificar Bernoulli.

Passo 2

Para verificar conservação da massa num escoamento incompressível calculamos a divergência do campo velocidade:
\nabla\cdot\mathbf{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}.
Como
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial(-2xy)}{\partial x} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial(y^{2}-x^{2})}{\partial y} = 2y,
temos
\nabla\cdot\mathbf{V} = -2y + 2y = 0,
logo satisfaz a conservação da massa.

Passo 3

Num escoamento potencial e estacionário de fluido ideal vale Bernoulli ao longo de cada linha de corrente:
p + \tfrac12\,\rho\,\lvert\mathbf{V}\rvert^{2} = \text{const}.
Como em (0,0) a velocidade é nula e p(0,0)=p_{\text{atm}}, a constante vale
C = p_{\text{atm}} + \tfrac12\,\rho\cdot 0 = p_{\text{atm}}.

Passo 4

Calculamos a magnitude do vetor velocidade:
\lvert\mathbf{V}\rvert^{2} = u^{2}+v^{2} = ( -2xy )^{2} + (y^{2}-x^{2})^{2} = 4x^{2}y^{2} + (x^{4} - 2x^{2}y^{2} + y^{4}) = x^{4} + 2x^{2}y^{2} + y^{4} = (x^{2}+y^{2})^{2}.

Passo 5

Substituindo em Bernoulli obtemos
p(x,y) = p_{\text{atm}} \;-\; \tfrac12\,\rho\,(x^{2}+y^{2})^{2}.
Como \rho=1000, fica
p(x,y) = p_{\text{atm}} - 500\,(x^{2}+y^{2})^{2}.

Passo 6

Para a grade em Excel definimos vetores x e y de -5 a 5. Em cada célula calculamos
u=-2xy,\quad v=y^{2}-x^{2},\quad V=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\quad p = p_{\text{atm}} - 500\,(x^{2}+y^{2})^{2}.
Em seguida criamos gráficos de contorno (contour plot) para V(x,y) e p(x,y).

Passo 7

O ponto de estagnação é onde \mathbf{V}=\mathbf{0}, ou seja (x,y)=(0,0). Fisicamente ali a velocidade do fluido cai a zero e a pressão atinge o valor máximo local, pois a energia cinética foi convertida em pressão estática.

Passo 8

A velocidade mínima (zero) ocorre em (0,0). A pressão máxima é p_{\text{atm}} em (0,0). As pressões mínimas ocorrem nos pontos de maior \sqrt{x^{2}+y^{2}} do domínio (por ex. nas bordas da grade \pm5,\pm5), e aí p é mínimo pois (x^{2}+y^{2})^{2} é máximo. A velocidade é máxima longe da origem, onde (x^{2}+y^{2}) é maior.

Passo 9

O campo de pressão satisfaz Bernoulli em cada linha de corrente, pois p + \tfrac12\rho V^{2}=p_{\text{atm}} constante. Ao contornar as “paredes” do pilar (região em torno de (0,0)) o fluido desacelera e a pressão sobe, desviando‐se lateralmente e acelerando novamente ao se afastar.

Resposta

(a) Sim. \nabla\cdot\mathbf{V}=0, logo massa conservada.
(b) \displaystyle p(x,y)=p_{\text{atm}} - 500\,(x^{2}+y^{2})^{2}.
(c) Gerando a grade em [-5,5]\times[-5,5], calcula-se \;u=-2xy,\;v=y^{2}-x^{2},\;V=\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{2}},\;p=p_{\text{atm}}-500\,(x^{2}+y^{2})^{2}
e faz-se contour plot de V(x,y) e p(x,y).
(d) O ponto de estagnação é (0,0) (velocidade zero, pressão máxima). As pressões mínimas e velocidades máximas ocorrem nos pontos de maior raio da grade. O campo satisfaz Bernoulli e mostra aceleração ao afastar‐se do pilar e aumento de pressão próximo a ele.

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