Considere um escoamento permanente e bidimensional de um fluido ideal (não viscoso) em torno da face frontal de um pilar de ponte. Nessa região, o fluido se aproxima da estrutura, encontra um ponto de estagnação e então é desviado lateralmente.
O campo de velocidade dado (
) representa um tipo específico de escoamento potencial (incompressível e irrotacional). Considere que este escoamento ocorre em água, com densidade
, e que a pressão atmosférica é
. Com base nessas informações, responda as alternativas a seguir:
(a) Verifique se esse escoamento satisfaz a conservação da massa? Mostre.
(b) Encontre o campo de pressão
se a pressão no ponto (
) é igual a
.
(c) Utilizando a ferramenta computacional (como o Excel), crie uma grade de pontos
no intervalo de
. Para cada ponto, calcule
e
. Gere um gráfico de contorno mostrando as magnitudes da velocidade e da pressão.
(d) Com base nas visualizações, onde ocorre o ponto de estagnação e qual sua importância física? Quais são os pontos de pressão e velocidade mínimas? O campo de pressão obtido está de acordo com o Teorema de Bernoulli? Interprete. Como o escoamento se comporta ao contornar as “paredes” do pilar?
(a) Verifique se esse escoamento satisfaz a conservação da massa? Mostre.
(b) Encontre o campo de pressão
(c) Utilizando a ferramenta computacional (como o Excel), crie uma grade de pontos
(d) Com base nas visualizações, onde ocorre o ponto de estagnação e qual sua importância física? Quais são os pontos de pressão e velocidade mínimas? O campo de pressão obtido está de acordo com o Teorema de Bernoulli? Interprete. Como o escoamento se comporta ao contornar as “paredes” do pilar?
Passo 1
O enunciado descreve um escoamento permanente, bidimensional, incompressível e irrotacional em torno da face frontal de um pilar, com campo de velocidade dado por
e pede: (a) verificar conservação da massa, (b) encontrar o campo de pressão sabendo que
, (c) gerar grade
e calcular campos, (d) interpretar pontos de estagnação, máximos e mínimos e verificar Bernoulli.
Passo 2
Para verificar conservação da massa num escoamento incompressível calculamos a divergência do campo velocidade:
Como
temos
logo satisfaz a conservação da massa.
Passo 3
Num escoamento potencial e estacionário de fluido ideal vale Bernoulli ao longo de cada linha de corrente:
Como em
a velocidade é nula e
, a constante vale
Passo 4
Calculamos a magnitude do vetor velocidade:
Passo 5
Substituindo em Bernoulli obtemos
Como
, fica
Passo 6
Para a grade em Excel definimos vetores
e
de
a
. Em cada célula calculamos
Em seguida criamos gráficos de contorno (contour plot) para
e
.
Passo 7
O ponto de estagnação é onde
, ou seja
. Fisicamente ali a velocidade do fluido cai a zero e a pressão atinge o valor máximo local, pois a energia cinética foi convertida em pressão estática.
Passo 8
A velocidade mínima (zero) ocorre em
. A pressão máxima é
em
. As pressões mínimas ocorrem nos pontos de maior
do domínio (por ex. nas bordas da grade
), e aí
é mínimo pois
é máximo. A velocidade é máxima longe da origem, onde
é maior.
Passo 9
O campo de pressão satisfaz Bernoulli em cada linha de corrente, pois
constante. Ao contornar as “paredes” do pilar (região em torno de
) o fluido desacelera e a pressão sobe, desviando‐se lateralmente e acelerando novamente ao se afastar.
Resposta
(a) Sim.
, logo massa conservada.
(b)
(c) Gerando a grade em , calcula-se
e faz-se contour plot de e
.
(d) O ponto de estagnação é (velocidade zero, pressão máxima). As pressões mínimas e velocidades máximas ocorrem nos pontos de maior raio da grade. O campo satisfaz Bernoulli e mostra aceleração ao afastar‐se do pilar e aumento de pressão próximo a ele.
(b)
(c) Gerando a grade em
e faz-se contour plot de
(d) O ponto de estagnação é