Escreva o Teorema de Reynolds e descreva o significado físico de cada termo. Diga quais termos se referem a sistemas, quais a volume de controle e como eles se relacionam.

Passo 1

O enunciado pede o Teorema de Reynolds, que liga a taxa de variação de uma propriedade extensa B acompanhando um sistema de massa à evolução dessa mesma propriedade em um volume de controle fixo no espaço. Para isso precisamos da definição de propriedade intensiva b=B/m, da densidade \rho, do vetor velocidade \mathbf{v} e dos conceitos de sistema (conjunto de partículas) versus volume de controle (região fixa no espaço) e sua superfície de controle.

Passo 2

O Teorema de Reynolds afirma:
\frac{dB_{\rm sistema}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV} \rho\,b\,dV + \int_{CS} \rho\,b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA
onde
\frac{dB_{\rm sistema}}{dt} é a taxa de variação de B acompanhando o sistema.
\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\,b\,dV é a variação interna de B dentro do volume de controle CV.
\displaystyle\int_{CS}\rho\,b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA é o fluxo convectivo de B através da superfície de controle CS.
O termo \displaystyle\frac{dB_{\rm sistema}}{dt} refere-se ao sistema (conjunto de partículas fluindo), pois acompanha cada massa que compõe B. É o lado “sistema” do teorema.
O termo \displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\,b\,dV diz respeito ao volume de controle: mede quanto da propriedade B está sendo acumulado (ou escoado internamente) no interior do CV, sem considerar ainda o que entra ou sai pela fronteira.
O termo \displaystyle\int_{CS}\rho\,b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA também envolve o volume de controle, mas especificamente a sua superfície de controle CS. Ele representa o transporte convectivo de B que atravessa essa fronteira, com \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} positivo quando sai e negativo quando entra.

Passo 3

Em conjunto, o teorema mostra que a variação total de B para o sistema (esquerda) é a soma de duas contribuições do volume de controle: a mudança interna (acúmulo) mais o balanço de fluxo pela superfície de controle.

Resposta

\frac{dB_{\rm sistema}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV} \rho\,b\,dV + \int_{CS} \rho\,b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA

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