3^circ ) Considere P2=a t^2+b t+c ; a, b, c in R P1=t^2-2 t+1 ; P2=t 2 ; P3= 2 t^2-t.
a) Escreva P=5 t^2-5 t+7 como combinação linear de P1, P2 e P3;
b) Escreva P=5 t^2-5 t+7 como combinação linear de P1, P2;
c) Escreva P1 como combinação linear de P2, P3.

Passo 1

O espaço vetorial é
P2=a,t^2+b,t+cmid a,b,cinR,
e foram dados os três polinômios
P1=t^2-2,t+1, P2=t^2, P3=2,t^2-t
Vamos:
  • a) escrever P=5,t^2-5,t+7 como combinação linear de P1,P2,P3;
  • b) tentar escrevê-lo como combinação de P1,P2;
  • c) escrever P1 como combinação de P2,P3.

Passo 2

Para (a) suponha
P=alpha,P1+beta,P2+gamma,P3
Substituindo coordenadas em relação à base canônica t^2,t,1, isto é,
alpha,(t^2-2t+1)+beta,(t^2)+gamma,(2t^2-t) =(alpha+beta+2gamma),t^2+(-2alpha-gamma),t+(alpha),
devemos ter
alpha+beta+2gamma=5, -2alpha-gamma=-5, alpha=7

Passo 3

Da terceira equação vem alpha=7.
Substituindo em -2alpha-gamma=-5
-2cdot7-gamma=-5Rightarrowgamma=-9
Finalmente em alpha+beta+2gamma=5:
7+beta+2cdot(-9)=5Rightarrow7+beta-18=5Rightarrowbeta=16

Passo 4

Para (b) tentamos
Igualando a
Mas de , que contradiz .
Logo não existe combinação linear de que dê .

Passo 5

Para (c) tentamos
P1=alpha,P2+beta,P3 =alpha,(t^2)+beta,(2t^2-t) =(alpha+2beta),t^2+(-beta),t
Como P1=t^2-2t+1 tem termo constante 1 mas a combinação acima não gera termo constante, chegamos a uma contradição.
Portanto não existe combinação linear de P2,P3 que dê P1.

Resposta

a) P=7,P1+16,P2-9,P3
b) Não existe combinação linear de P1,P2 que produza P.
c) Não existe combinação linear de P2,P3 que produza P1.

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